已知向量 a = ( 3 , 1 ) , b = ( 2…——2023 高考数学第 3 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 ${ \vec { a } } + { \vec { b } } { \vec { \left| \right|} } , { \vec { a } } - { \vec { b } } { } , { \left( { \vec { a } } + { \vec { b } } \right) } { \cdot } { \left( { \vec { a } } - { \vec { b } } \right) }$ ，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为 $\stackrel { } { a } = ( 3 , 1 ) , \stackrel { } { b } = ( 2 , 2 )$ ，所以 $\stackrel { } { a } + \vec { b } = \big ( 5 , 3 \big ) , \stackrel { } { a } - \vec { b } = \big ( 1 , - 1 \big )$ 则 ${ \left| \vec { a } + \vec { b } \right| } = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 4 } , { \left| \vec { a } - \vec { b } \right| } = \sqrt { 1 + 1 } = \sqrt { 2 } \ , \ \left( \vec { a } + \vec { b } \right) \cdot { \left( \vec { a } - \vec { b } \right) } = 5 \times 1 + 3 \times ( - 1 ) = 2$ 所以 $\cos { \Bigl \langle } { \vec { a } } + { \vec { b } } , { \vec { a } } - { \vec { b } } { \Bigr \rangle } = { \frac { { \Bigl ( } { \vec { a } } + { \vec { b } } { \Bigr ) } \cdot { \Bigl ( } { \vec { a } } - { \vec { b } } { \Bigr ) } } { { \Bigl | } { \vec { a } } + { \vec { b } } { \Bigr | } { \Bigr | } { \vec { a } } - { \vec { b } } { \Bigr | } } } = { \frac { 2 } { \sqrt { 3 4 } \times { \sqrt { 2 } } } } = { \frac { \sqrt { 1 7 } } { 1 7 } }$

故选：B.