（本小题满分 12 分） 四面体 A B C D 及其三视…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；（2）$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

## 【解析】

试题分析：（1）由该四面体的三视图可知：$B D \perp D C, B D \perp A D, A D \perp D C, B D=D C=2, A D=1$
由题设，$B C / /$ 面 $E F G H$，面 $E F G H$ 亿面 $B D C=F G$，面 $E F G H$ 亿面 $A B C=E H$，所以 $B C / / F G$，

$B C / / E H$，所以 $F G / / E H$，同理可得 $E F / / H G$，即得四边形 $E F G H$ 是平行四边形，同时可证 $E F \perp F G$，即证四边形 $E F G H$ 是矩形；
（2）以 $D$ 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 $D(0,0,0), A(0,0,1), B(2,0,0), C(0,2,0)$
$\overrightarrow{D A}=(0,0,1), \overrightarrow{B C}=(-2,2,0), \overrightarrow{B C}=(-2,2,0)$，设平面 $E F G H$ 的一个法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$ 因为 $B C / / F G, E F / / A D$，所以 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{D A}=0, \vec{n} \cdot \overrightarrow{B C}=0$，列出方程组，即可得到平面 $E F G H$ 的一个法向量 $\vec{n}$， $\overrightarrow{A B}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角的余弦值的绝对值即为所求．

试题解析：（1）由该四面体的三视图可知：
$B D \perp D C, B D \perp A D, A D \perp D C, B D=D C=2, A D=1$
由题设，$B C / /$ 面 $E F G H$
面 $E F G H \cap$ 面 $B D C=F G$
面 $E F G H$ ㅁ面 $A B C=E H$
$\therefore B C / / F G, B C / / E H, \quad \therefore F G / / E H$.
同理 $E F / / A D, H G / / A D, \quad \therefore E F / / H G$．
∴ 四边形 $E F G H$ 是平行四边形
又 $\because B D \perp A D, A D \perp D C, B D \cap D C=D$
$\therefore A D \perp$ 平面 $B D C$
$\therefore A D \perp B C$
$\because B C\|F G, E F\| A D$
$\therefore E F \perp F G$
∴ 四边形 $E F G H$ 是矩形
（2）如图，以 $D$ 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 $D(0,0,0), A(0,0,1), B(2,0,0), C(0,2,0)$
$\overrightarrow{D A}=(0,0,1), \quad \overrightarrow{B C}=(-2,2,0), \quad \overrightarrow{B C}=(-2,2,0)$

## 设平面 $E F G H$ 的一个法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$

$\because B C / / F G, E F / / A D$
$\therefore \vec{n} \cdot \overrightarrow{D A}=0, \vec{n} \cdot \overrightarrow{B C}=0$
即得 $\left\{\begin{array}{c}z=0 \\ -2 x+2 y=0\end{array}\right.$，取 $\vec{n}=(1,1,0)$
$\therefore \sin \theta=\cos \langle\overrightarrow{B A}, \vec{n}\rangle\left|=\left|\frac{\overrightarrow{B A} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{B A}| \cdot|\vec{n}|}\right|=\frac{2}{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\right.$
考点：面面平行的性质；线面角的求法．