14．已知直角梯形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, \angle A D C=90^{\circ}, A D=2, B C=1$ ， $P$ 是腰 $D C$ 上的动点，则 $|\overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$
参考答案
5
已知直角梯形 A B C D 中， A D / / B C…——2011 高考数学第 14 题答案解析
2011_天津卷 (2011·文)
题目指纹
这道题真正考什么？
核心知识
平面向量的基本定理及坐标表示
核心考法
向量坐标法函数与方程坐标法
关键能力
应用填空题
最容易错
定义域忽略
难度
区分题
先及格路线 · 平面向量基础 · 基础题
如果目标是先及格，这类题值得掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
下一步
题目由真实图谱证据匹配别只看答案，试试你是不是真的会
同知识点
同一个知识，换种问法
匹配依据：平面向量的基本定理及坐标表示同考法
换个题面，方法仍然适用
匹配依据：向量坐标法完整解析 · 逐步详解
【解答】
【答案】 5
【解析】建立如图所示的坐标系，设 $P C=h$ ，则 $A(2,0), B(1, h)$ ，设 $P(0, y),(0 \leq y \leq h)$则 $\overrightarrow{P A}=(2,-y), \overrightarrow{P B}=(1, h-y), \therefore|\overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}|=\sqrt{25+(3 h-4 y)^{2}} \geq \sqrt{25}=5$ ．
✅ 来源：2011年 · 天津 · 2011_天津卷 (2011·文) · 第 14 题 · 本题已通过全部自动发布校验
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①给定向量 $b$ ，总存在向量 $c$ ，使 $a=b+c$ ；
②给定向量 $\boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{c}$ ，总存在实数 $\lambda$ 和 $\mu$ ，使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}+\mu \boldsymbol{c}$ ；
③给定单位向量 $\boldsymbol{b}$ 和正数 $\mu$ ，总存在单位向量 $\boldsymbol{c}$ 和实数 $\lambda$ ，使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}+\mu \boldsymbol{c}$ ；
④给定正数 $\lambda$ 和 $\mu$ ，总存在单位向量 $b$ 和单位向量 $c$ ，使 $a=\lambda b+\mu c$ ．
上述命题中的向量 $b, c$ 和 $a$ 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）。