（10分）如图， D, E 分别为 A B C 的边 A…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（I）做出辅助线，根据所给的 AE 的长为 $\mathrm{m}, \mathrm{AC}$ 的长为 $\mathrm{n}, \mathrm{AD}, \mathrm{AB}$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-14 x+m n=0$ 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论。
（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点 $G$ ，$D B$ 的中点 $F$ ，分别过 $G$ ，$F$ 作 $A C$ ，$A B$ 的垂线，两垂线相交于 $H$ 点，连接 $D$ H ，根据四点共圆得到半径的大小．

【解答】解：（I）连接 $D E$ ，根据题意在 $\triangle A D E$ 和 $\triangle A C B$ 中，
$\mathrm{AD} \times \mathrm{AB}=\mathrm{mn}=\mathrm{AE} \times \mathrm{AC}$,
即 $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}$
又 $\angle D A E=\angle C A B$ ，从而 $\triangle A D E \sim \triangle A C B$
因此 $\angle A D E=\angle A C B$
$\therefore \mathrm{C}, \mathrm{B}$ ， D ， E 四点共圆．
（II）$m=4, n=6$ 时，方程 $x^{2}-14 x+m n=0$ 的两根为 $x_{1}=2, x_{2}=12$ ．

故 $A D=2, A B=12$ ．
取 $C E$ 的中点 $G, D B$ 的中点 $F$ ，分别过 $G, F$ 作 $A C, A B$ 的垂线，两垂线相交于 $H$ 点，连接DH．
$\because \mathrm{C}, \mathrm{B}$ ， D ， E 四点共圆，
$\therefore \mathrm{C}, \mathrm{B}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ 四点所在圆的圆心为 H ，半径为 DH ．
由于 $\angle A=90^{\circ}$ ，故 $G H\|A B, H F\| A C . H F=A G=5, D F=\frac{1}{2}(12-2)=5$ ．
故C，B，D，E四点所在圆的半径为 $5 \sqrt{2}$

【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．