在平面直角坐标系 x O y 中，已知 P ( 3 2 ,…——2020 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), A, B$ 是圆 $C: x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=36$ 上的两个动点，满足 $P A=P B$ ，则 $\triangle P A B$ 面积的最大值是

【答案】 $10 \sqrt{5}$
【解析】
【分析】
根据条件得 $P C \perp A B$ ，再用圆心到直线距离表示三角形 PAB 面积，最后利用导数求最大值．
【详解】 $\mathrm{Q} P A=P B \therefore P C \perp A B$
设圆心 $C$ 到直线 $A B$ 距离为 $d$ ，则 $|A B|=2 \sqrt{36-d^{2}},|P C|=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$
所以 $S_{\mathrm{V} P A B} \leq \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{36-d^{2}}(d+1)=\sqrt{\left(36-d^{2}\right)(d+1)^{2}}$
令 $y=\left(36-d^{2}\right)(d+1)^{2}(0 \leq d<6) \therefore y^{\prime}=2(d+1)\left(-2 d^{2}-d+36\right)=0 \therefore d=4$（负值舍去）
当 $0 \leq d<4$ 时，$y^{\prime}>0$ ；当 $4 \leq d<6$ 时，$y^{\prime} \leq 0$ ，因此当 $d=4$ 时，$y$ 取最大值，即 $S_{\triangle P A B}$ 取最大值为 $10 \sqrt{5}$ ，

故答案为： $10 \sqrt{5}$
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题．