2013_省自主命题（安徽）
（17）（本小题满分12分）
设函数 $f ( x ) = a x - ( 1 + a ^ { 2 } ) x ^ { 2 }$，其中 $a { > } 0$，区间 $I = \left\{ x | f ( x ) { > } 0 \right\}$
（I）求I的长度（注：区间 $\left( \alpha , ~ \beta \right)$ 的长度定义为 $\beta - \alpha { \bf \alpha } ) ;$
（Ⅱ）给定常数 $k \in \left( 0 , 1 \right)$，当 $1 - k \leq a \leq 1 + k$ 时，求I长度的最小值.
①令 $f ( x ) = x { \lceil } c \cdot \left( 1 + a ^ { 2 } \right) \ x { \rceil } = 0$ 解得 $x _ { 1 } = 0 x _ { 2 } = - \frac { \alpha } { 1 + \alpha ^ { 2 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①令 $f ( x ) = x { \lceil } c \cdot \left( 1 + a ^ { 2 } \right) \ x { \rceil } = 0$
解得 $x _ { 1 } = 0 x _ { 2 } = - \frac { \alpha } { 1 + \alpha ^ { 2 } }$
$$ \therefore I = \left\{ x \vert 0 < : < { \frac { a } { 1 + a ^ { 2 } } } \right\} $$
$\therefore I$ 的长度 $x _ { 2 } - x _ { \mathrm { i } } = \frac { a } { 1 + x ^ { 2 } }$
> ② $k \in ( 0 . 1 )$ 则 $0 < 1 - k \leq \alpha \leq 1 + k < 2$
由① $I = \frac { a } { 1 + a ^ { 2 } }$
$I ^ { \prime } = \frac { 1 - \alpha ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } } > 0$ 令 $I ^ { \prime } { = } 0$，得a=1，由于 $0 < k < 1$
故I关于a在[1-k,1)上单调递增，在(1.1+k]上单调递减，I必定在a=1-k或a=1+k处取得
$$ \frac { I _ { 1 } } { I _ { 2 } } = \frac { \displaystyle \frac { 1 - k } { 1 + ( 1 - k ) ^ { 2 } } } { \displaystyle \frac { 1 + k } { 1 + ( 1 + k ) ^ { 2 } } } = \frac { 2 - k ^ { 2 } - k ^ { 3 } } { 2 - k ^ { 2 } + k ^ { 3 } } < 1 $$
$$ I _ { 1 } < I _ { 2 } $$
$$ \therefore I _ { 1 1 1 } = \frac { 1 - k } { 2 - 2 k + k ^ { 2 } } $$
因此当 $a = 1 - k$ 时，I在区间 $\left[ 1 - k _ { * } 1 \cdot \kappa \right]$ 上取得最小值 $\frac { 1 - k } { 2 - 2 k + k ^ { 2 } }$
【解析】第（1）题求解一元二次不等式确定区间1的取值范围：根据题意能够求出的长度，简单题；第②题要能理解其实就是求I关于a在给定区间内的最小值，通过求导就能确定最小值是当a取何值，但此题易错点在于需要比较a在1-k与1+k处I的大小，利用作差或作商都可以解决出题思路比较新颖，容易迷惑，但只要能够理解题意，基本能够求解出来
【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力