（5 分）设函数 f(x)= array l x^ 3 -…——2016 高考数学第 14 题答案解析

【考点】5B：分段函数的应用．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）将 $\mathrm{a}=0$ 代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当 $\mathrm{x}=-1$ 时， $f(x)$ 的最大值为 2；
（2）若 $f(x)$ 无最大值，则 $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant-1 \\ -2 a>a^{3}-3 a\end{array}\right.$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}a>-1 \\ -2 a>a^{3}-3 a \\ -2 a>2\end{array}\right.$ ，解得答案．
【解答】解：（1）若 $a=0$ ，则 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}-3 x, x \leqslant 0 \\ -2 x, x>0\end{array}\right.$ ，
则 $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}-3, \quad x \leqslant 0 \\ -2, \quad x>0\end{array}\right.$ ，

当 $x<-1$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，此时函数为增函数，
当 $x>-1$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，此时函数为减函数，
故当 $x=-1$ 时，$f(x)$ 的最大值为 2 ；
②$f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}-3, \quad x \leqslant a \\ -2, \quad x>a\end{array}\right.$
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，则 $x= \pm 1$ ，
若 $f(x)$ 无最大值，则 $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant-1 \\ -2 a>a^{3}-3 a\end{array}\right.$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}a>-1 \\ -2 a>a^{3}-3 a \text { ，} \\ -2 a>2\end{array}\right.$
解得：$a \in(-\infty,-1)$ ．
故答案为： $2,(-\infty,-1)$
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档。