2011 全国高考数学 2011_老新课标卷 (2011·文) 第 20 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

20．（12分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y=x^{2}-6 x+1$ 与坐标轴的交点都在圆 c上．
（I）求圆C的方程；
（II）若圆C与直线 $x-y+a=0$ 交与 $A$ ，$B$ 两点，且 $O A \perp O B$ ，求 $a$ 的值．

Accepted Answer

【考点】 J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质． 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（I）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程； 法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数， （II）利用设而不求思想设出圆 $C$ 与直线 $x-y+a=0$ 的交点 $A, B$ 坐标，通过 $O A \perp O$ B 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于 a 的方程，通过解方程确定出 $a$ 的值。 【解答】解：（I）法一：曲线 $y=x^{2}-6 x+1$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,1)$ ，与 $x$ 轴的交点为 $(3+2 \sqrt{2}, 0),(3-2 \sqrt{2}, 0)$ ．可知圆心在直线 $x=3$ 上，故可设该圆的圆心 $C$ 为 $(3, t)$ ，则有 $3^{2}+(t-1)^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}+t^{2}$ ，解得 $t=1$ ，故圆 $C$ 的半径为 $\sqrt{3^{2}+(t-1)^{2}}=3$ ，所以圆C的方程为 $(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=9$ ． 法二：圆 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$ $x=0, y=1$ 有 $1+E+F=0$ $y=0, x^{2}-6 x+1=0$ 与 $x^{2}+D x+F=0$ 是同一方程，故有 $D=-6, F=1, E=-2$ ，即圆方程为 $x^{2}+y^{2}-6 x-2 y+1=0$ （II）设A $\left(x_{1}, y_{1}ight), B\left(x_{2}, y_{2}ight)$ ，其坐标满足方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-y+a=0 \ (x-3)^{2}+(y-1)^{2}=9\end{array}ight.$ ，消去 $y$ ，得到方程 $2 x^{2}+(2 a-8) x+a^{2}-2 a+1=0$ ，由已 知可得判别式 $\Delta=56-16 a-4 a^{2}>0$ ． 在此条件下利用根与系数的关系得到 $x_{1}+x_{2}=4-a, ~ x_{1} x_{2}=\frac{a^{2}-2 a+1}{2}$①， 由于 $O A \perp O B$ 可得 $x_{1} x_{2}+y_{1 y 2}=0$ ，又 $y_{1}=x_{1}+a, y_{2}=x_{2}+a$ ，所以可得 $2 x_{1} x_{2}+a\left(x_{1}+x_{2}ight)+a^{2}=$ 0② 由①②可得 $\mathrm{a}=-1$ ，满足 $	riangle=56-16 \math…

2011 高考数学第 20 题答案解析

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