20．（12分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y=x^{2}-6 x+1$ 与坐标轴的交点都在圆 c上．
（I）求圆C的方程；
（II）若圆C与直线 $x-y+a=0$ 交与 $A$ ，$B$ 两点，且 $O A \perp O B$ ，求 $a$ 的值．
（12分）在平面直角坐标系 x O y 中，曲线 y=x^…——2011 高考数学第 20 题答案解析
2011_老新课标卷 (2011·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】 J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；
法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，
（II）利用设而不求思想设出圆 $C$ 与直线 $x-y+a=0$ 的交点 $A, B$ 坐标，通过 $O A \perp O$ B 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于 a 的方程，通过解方程确定出 $a$ 的值。
【解答】解：（I）法一：曲线 $y=x^{2}-6 x+1$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,1)$ ，与 $x$ 轴的交点为 $(3+2 \sqrt{2}, 0),(3-2 \sqrt{2}, 0)$ ．可知圆心在直线 $x=3$ 上，故可设该圆的圆心 $C$ 为 $(3, t)$ ，则有 $3^{2}+(t-1)^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}+t^{2}$ ，解得 $t=1$ ，故圆 $C$ 的半径为 $\sqrt{3^{2}+(t-1)^{2}}=3$ ，所以圆C的方程为 $(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=9$ ．
法二：圆 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$
$x=0, y=1$ 有 $1+E+F=0$
$y=0, x^{2}-6 x+1=0$ 与 $x^{2}+D x+F=0$ 是同一方程，故有 $D=-6, F=1, E=-2$ ，即圆方程为 $x^{2}+y^{2}-6 x-2 y+1=0$
（II）设A $\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，其坐标满足方程组
$\left\{\begin{array}{l}x-y+a=0 \\ (x-3)^{2}+(y-1)^{2}=9\end{array}\right.$ ，消去 $y$ ，得到方程 $2 x^{2}+(2 a-8) x+a^{2}-2 a+1=0$ ，由已
知可得判别式 $\Delta=56-16 a-4 a^{2}>0$ ．
在此条件下利用根与系数的关系得到 $x_{1}+x_{2}=4-a, ~ x_{1} x_{2}=\frac{a^{2}-2 a+1}{2}$①，
由于 $O A \perp O B$ 可得 $x_{1} x_{2}+y_{1 y 2}=0$ ，又 $y_{1}=x_{1}+a, y_{2}=x_{2}+a$ ，所以可得 $2 x_{1} x_{2}+a\left(x_{1}+x_{2}\right)+a^{2}=$ 0②
由①②可得 $\mathrm{a}=-1$ ，满足 $\triangle=56-16 \mathrm{a}-4 \mathrm{a}^{2}>0$ ．故 $\mathrm{a}=-1$ ．
【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型。
✅ 来源：2011年 · 全国 · 2011_老新课标卷 (2011·文) · 第 20 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验