（本小题满分 13 分） 某企业在第 1 年初购买一台价值…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（2011•湖南）某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 $M, M$ 的价值在使用过程中逐年减少。从第2年到第6年，每年初 $M$ 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 $M$ 的价值为上年初的 $75 \%$ 。
（I）求第 $n$ 年初 $M$ 的价值 $a_{n}$ 的表达式；
（II）设 $A n=\frac{a 1+a 2+\ldots+a n}{n}$ ，若 $A n$ 大于 80 万元，则 $M$ 继续使用，否则须在第 $n$ 年初对 $M$ 更新。证明：须在第9年初对 $M$ 更新。

考点：分段函数的应用；数列与函数的综合。
专题：综合题。
分析：（I）通过对 $n$ 的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第 $n$ 年初 $M$ 的价值 $a_{n}$ 的表达式；
（II）利用等差数列、等比数列的前 $n$ 项和公式求出 $A_{n}$ ，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与 80 比较，判断出须在第 9 年初对 $M$ 更新。

解答：解：$(I)$ 当 $n<6$ 时，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 120 ，公差为 -10 的等差数列
$a_{n}=120-10(n-1)=130-10 n$
当 $n \geqslant 6$ 时，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 $a_{6}$ 为首项，公比为 $\frac{3}{4}$ 的等比数列，又 $a_{6}=70$
所以 $a_{n}=70 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}$
因此，第 $n$ 年初，$M$ 的价值 $a_{n}$ 的表达式为 $a_{n}=\left\{\begin{array}{c}130-10 n(n \leq 6) \\ 70 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}(n \geq 7)\end{array}\right.$
（II）设 $S_{n}$ 表示数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，由等差、等比数列的求和公式得

当 $1 \leqslant n \leqslant 6$ 时，$S_{n}=120 n-5 n(n-1), A_{n}=120-5(n-1)=125-5 n$
当 $n \geqslant 7$ 时，由于 $S_{6}=570$ 故
$S_{n}=S_{6}+\left(a_{7}+a_{8}+\cdots+a_{n}\right)=570+70 \times 4 \times\left[1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}\right]=780-210 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{n-6} A_{n}=\frac{780-210 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{n-6}}{n}$因为 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列，

所以 $\left\{A_{n}\right\}$ 是递减数列，
又 $A_{8}=\frac{780-210 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}{}=82 \frac{47}{64}>80$

$$ A_{9}=\frac{780-210 \times\left(\frac{3}{4}\right)^{3}}{9}=76 \frac{79}{96}<80 $$

所以须在第9年初对 $M$ 更新。
点评：本题考查等差数列的通项公式，前 $n$ 项和公式、考查等比数列的通项公式及前 $n$ 项和公式、考查分段函数的问题要分到研究．