2009 全国高考数学 2009_旧全国 I 卷 (2009·理) 第 10 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

10．（5分）已知二面角 $\alpha-I-\beta$ 为 $60^{\circ}$ ，动点 $P 、 Q$ 分别在面 $\alpha 、 \beta$ 内，$P$ 到 $\beta$ 的距离

为 $\sqrt{3}$ ， Q 到 $\alpha$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则 P 、 Q 两点之间距离的最小值为
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/d9417cbf-d744-4354-9564-fcaa6b774df2-06.jpg?height=424&width=433&top_left_y=358&top_left_x=328)

Accepted Answer

C

【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系． 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】分别作 $Q A \perp \alpha$ 于 $A, A C \perp I$ 于 $C, P B \perp \beta$ 于 $B, P D \perp I$ 于 $D$ ，连 $C Q, B D$ 则 $\angle A C Q= \angle P B D=60^{\circ}$ ，在三角形 $A P Q$ 中将 $P Q$ 表示出来，再研究其最值即可。 【解答】解：如图 分别作 $Q A \perp \alpha$ 于 $A, ~ A C \perp I$ 于 $C, ~ P B \perp \beta$ 于 $B, ~ P D \perp I$ 于 $D$ ， 连 $\mathrm{CQ}, \mathrm{BD}$ 则 $\angle \mathrm{ACQ}=\angle \mathrm{PDB}=60^{\circ}, \mathrm{AQ}=2 \sqrt{3}, \mathrm{BP}=\sqrt{3}$ ， 又 $\because \mathrm{PQ}=\sqrt{\mathrm{AQ}^{2}+\mathrm{AP}^{2}}=\sqrt{12+\mathrm{AP}^{2}} \geqslant 2 \sqrt{3}$ 当且仅当 $\mathrm{AP}=0$ ，即点 A 与点 P 重合时取最小值． 故选：C． ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/d9417cbf-d744-4354-9564-fcaa6b774df2-06.jpg?height=426&width=439&top_left_y=1873&top_left_x=324) 【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题。

2009 高考数学第 10 题答案解析

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