记 A B C 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】 $( 1 ) \ \frac { 5 \pi } { 8 }$ ；

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意可得， $\sin C = \sin \left( C - A \right)$ ，再结合三角形内角和定理即可解出；

> ②由题意利用两角差的正弦公式展开得

$\sin C { \big ( } \sin A \cos B - \cos A \sin B { \big ) } = \sin B { \big ( } \sin C \cos A - \cos C \sin A { \big ) }$ ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出

【小问 1 详解】

由 $A = 2 B \ , \ \sin C \sin \left( A - B \right) = \sin B \sin \left( C - A \right)$ 可得， $\sin C \sin B = \sin B \sin \left( C - A \right)$ ，而 $0 < B < \frac { \pi } { 2 }$ 所以sin $B \in \left( 0 , 1 \right)$ ，即有 $\sin C = \sin \left( C - A \right) > 0$ ，而 $0 < C < \pi , 0 < C - A < \pi$ ，显然 $C \neq C - A$ ，所以，$C + C - A = \pi$ ，而 $\scriptstyle A = 2 B , A + B + C = \pi$ ，所以 $C = \frac { 5 \pi } { 8 }$

小问2详解】【

由 $\sin C \sin \left( A - B \right) = \sin B \sin \left( C - A \right)$ 可得，

$\sin C { \big ( } \sin A \cos B - \cos A \sin B { \big ) } = \sin B { \big ( } \sin C \cos A - \cos C \sin A { \big ) }$ ，再由正弦定理可得，

$a c \cos B - b c \cos A = b c \cos A - a b \cos C$ ，然后根据余弦定理可知，

${ \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } { \big ) } - { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } { \big ) } = { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } { \big ) } - { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } { \big ) }$ ，化简得：

$2 a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$ ，故原等式成立