（12分）已知抛物线C： y ^ 2 = 2 x 的焦点为…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明 $\angle P R A = \angle P Q F$ ，即可证明 $\mathsf { A R } \parallel \mathsf { F O }$

（Ⅱ）利用 $\triangle \mathsf { P O F }$ 的面积是 $\triangle \mathsf { A B F }$ 的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程

【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，

由AP=AF， $B Q = B F$ 及 $\mathsf { A P } \| \mathsf { B Q }$ ，得 $\angle A F P + \angle B F Q = 9 0 ^ { \circ }$

$$ \therefore \angle P F Q = 9 0 ^ { \circ } , $$

∵R是PQ的中点，

$$ \therefore R F = R P = R Q , $$

∴△PAR≌△FAR，

$$ \therefore \angle P A R = \angle F A R , \angle P R A = \angle F R A , $$

$$ \because \angle B Q F + \angle B F Q = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle Q B F = \angle P A F = 2 \angle P A R , $$

$$ \therefore \angle F O B = \angle P A R , $$

∴ $\angle P R A = \angle P Q F$

∴AR∥FQ

（Ⅱ）设A $( { \sf x } _ { 1 } , { \sf y } _ { 1 } ) , { \sf B } ( { \sf x } _ { 2 } , { \sf y } _ { 2 } )$

F $( { \frac { 1 } { 2 } } , \ 0 )$ ，准线为 $x = - \frac { 1 } { 2 }$

S_△PQF= |PQ|= |y₁﹣y₂|，

设直线AB与x轴交点为N，

$$ \therefore S _ { \Delta A B F } = \frac { 1 } { 2 } \vert F N \vert \vert y _ { 1 } - y _ { 2 } \vert , $$

$\because \triangle \mathsf { P Q F }$ 的面积是 $\triangle A B F$ 的面积的两倍，

$\therefore 2 | F N | = 1 , \therefore x _ { N } = 1$ ，即N（1，0）

设AB中点为 ${ \sf M } \left( { \sf x } , \ { \sf y } \right)$ ，由 $\left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle { { y _ { 1 } } ^ { 2 } } = 2 \mathrm { { x } _ { 1 } } } \\ { \displaystyle { { y _ { 2 } } ^ { 2 } } = 2 \mathrm { { x } _ { 2 } } } \end{array} } \right.$ 得 ${ \bf y } _ { 1 } ^ { 2 } { - } { \bf y } _ { 2 } ^ { 2 } { = } 2 ( { \bf x } _ { 1 } - { \bf x } _ { 2 } )$

又 $\frac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = \frac { y } { x - 1 }$

$\therefore \frac { y } { x - 1 } = \frac { 1 } { y }$ ，即 $\mathsf { y } ^ { 2 } = \mathsf { x } - 1$

∴AB中点轨迹方程为 $\mathsf { \Delta } J ^ { 2 } = \mathsf { x } \mathrm { ~ - ~ } 1$

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题