（12分）如图，在三棱锥 P-A B C 中， A B=B…——2018 高考数学第 20 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．

【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离 ； 5 H ：空间向量及应用．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明 $P O \perp A C, P O \perp O B$ 即可；
（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论。
【解答】（1）证明：连接 BO ，
$\because A B=B C=2 \sqrt{2}, O$ 是 $A C$ 的中点，
$\therefore B O \perp A C$ ，且 $B O=2$ ，
又 $P A=P C=P B=A C=4$ ，
$\therefore \mathrm{PO} \perp \mathrm{AC}, ~ \mathrm{PO}=2 \sqrt{3}$ ，
则 $\mathrm{PB}^{2}=\mathrm{PO}^{2}+\mathrm{BO}^{2}$ ，
则 $P O \perp O B$ ，
$\because \mathrm{OB} \cap \mathrm{AC}=\mathrm{O}$,
$\therefore P O \perp$ 平面 $A B C$ ；

（2）建立以 O 坐标原点， $\mathrm{OB}, \mathrm{OC}, \mathrm{OP}$ 分别为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 轴的空间直角坐标系如图
$\mathrm{A}(0,-2,0), \mathrm{P}(0,0,2 \sqrt{3}), \mathrm{C}(0,2,0), \mathrm{B}(2,0,0)$ ， $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-2,2,0)$ ，

设 $\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-2 \lambda, 2 \lambda, 0), 0<\lambda<1$
则 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{BM}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}=(-2 \lambda, 2 \lambda, 0)-(-2,-2,0)=(2-2 \lambda, 2 \lambda+2,0)$ ，
则平面 PAC 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(1,0,0)$ ，
设平面MPA的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，
则 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(0,-2,-2 \sqrt{3})$ ，
则 $\vec{n} \bullet \overrightarrow{\mathrm{PA}}=-2 y-2 \sqrt{3 z}=0, \overrightarrow{\mathrm{n}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{AM}}=(2-2 \lambda) x+(2 \lambda+2) y=0$
令 $\mathrm{z}=1$ ，则 $\mathrm{y}=-\sqrt{3}, \mathrm{x}=\frac{(\lambda+1) \sqrt{3}}{1-\lambda}$ ，
即 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\frac{(\lambda+1) \sqrt{3}}{1-\lambda},-\sqrt{3}, 1\right)$ ，
∵ 二面角 $\mathrm{M}-\mathrm{PA}-\mathrm{C}$ 为 $30^{\circ}$ ，
$\therefore \cos 30^{\circ}=\left\lvert\, \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\right.$,
即 $\frac{\frac{(\lambda+1) \sqrt{3}}{\lambda-1}}{\sqrt{\left(\frac{\lambda+1}{1-\lambda} \cdot \sqrt{3}\right)^{2}+1+3} \cdot 1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
解得 $\lambda=\frac{1}{3}$ 或 $\lambda=3$（舍），
则平面MPA的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(2 \sqrt{3},-\sqrt{3}, 1)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=(0,2,-2 \sqrt{3})$,
PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 $\sin \theta=\left|\cos <\overrightarrow{\mathrm{PC}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>\left|=\left|\frac{-2 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{16}}\right|=\frac{4 \sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{4}\right.\right.$ ．

【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．