秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆…——2021 高考物理第 20 题答案解析

【答案】（1） $T = m g + m { \frac { v ^ { 2 } } { l _ { 1 } } }$ ；②a.见解析；b. $\Delta E _ { \mathrm { k } } \geq \frac { 5 } { 2 } m g l _ { 2 } - m g l _ { 1 } ( 1 - \cos \theta )$

【解析】

【分析】

【详解】（1）根据牛顿运动定律

$$ T - m g = m { \frac { \nu ^ { 2 } } { l _ { 1 } } } $$

解得

$$ T = m g + m { \frac { v ^ { 2 } } { l _ { 1 } } } $$

> ② $^ { a . }$ 设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为 $\nu _ { 1 } , ~ \nu _ { 2 }$ ，根据功能关系得

$$ m g l _ { 1 } ( 1 - \cos \theta _ { 1 } ) = \frac { 1 } { 2 } m V _ { 1 } ^ { 2 } $$

$$ m g l _ { 2 } ( 1 - \cos \theta _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } m V _ { 2 } ^ { 2 } $$

已知 $\nu _ { 1 } = \nu _ { 2 }$ ，得

$$ m g l _ { 1 } ( 1 - \cos \theta _ { 1 } ) = m g l _ { 2 } ( 1 - \cos \theta _ { 2 } ) $$

因为 $l _ { 1 } > l _ { 2 }$ ，得

$$ \cos \theta _ { 1 } > \cos \theta _ { 2 } $$

所以

$$ \theta _ { 2 } > \theta _ { 1 } $$

b.设“摆球”由最大摆角 $\theta$ 摆至最低点时动能为 $E _ { \mathrm { k } }$ ，根据功能关系得

$$ E _ { \mathrm { k } } = m g l _ { 1 } ( 1 - \cos \theta ) $$

“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为 $\nu _ { \mathrm { m } }$ ,根据牛顿运动定律得

$$ m g = m { \frac { V _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } { l _ { 2 } } } $$

“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得

$$ E _ { \mathrm { k } } + \Delta E _ { \mathrm { k } } \ge 2 m g l _ { \mathrm { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } m V _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } $$

得

$$ \Delta E _ { \mathrm { k } } \geq \frac 5 2 m g l _ { 2 } - m g l _ { 1 } ( 1 - \cos \theta ) $$