（5 分）设函数 f(x)=e^ x +a e^ -x （…——2019 高考数学第 13 题答案解析

【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即 $e^{-x}+a e^{x}=-\left(e^{x}+a e^{-}\right. x)$ ，变形可得分析可得 $a$ 的值，即可得答案；

对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime}$ （ $x$ ）$=e^{x}-a e^{-x} \geqslant 0$ 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立，变形可得：$a \leqslant e^{2 x}$ 恒成立，据此分析可得答案。

【解答】解：根据题意，函数 $f(x)=e^{x}+a e^{-x}$ ，
若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(-x)=-f(x)$ ，即 $e^{-x}+a e^{x}=-\left(e^{x}+a e^{-x}\right)$ ，变形可得 $a=-$ 1 ，

函数 $f(x)=e^{x}+a e^{-x}$ ，导数 $f^{\prime}(x)=e^{x}-a e^{-x}$
若 $f(x)$ 是 $R$ 上的增函数，则 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime}(x)=e^{x}-a e^{-x} \geqslant 0$ 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立，
变形可得：$a \leqslant e^{2 x}$ 恒成立，分析可得 $a \leqslant 0$ ，即 $a$ 的取值范围为 $(-\infty, 0]$ ；
故答案为：$-1,(-\infty, 0]$ ．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．