2023_北京卷
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若$A B = 2 5 \mathrm { m } , B C = A D = 1 0 \mathrm { m }$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 $\frac { \sqrt { 1 4 } } { 5 }$ ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】C
【解析】
【分析】先根据线面角的定义求得 $\tan \angle E M O = \tan \angle E G O = \frac { \sqrt { 1 4 } } { 5 }$ ，从而依次求EO，EG ，EB，EF，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E做EO ^平面ABCD，垂足为O，过E分别做 $E G \perp B C$ $E M \perp A B$ ，垂足分别为
G ， M，连接 $O G , O M$
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 $\angle E M O$ 和 $\angle E G O$ 所以 $\tan \angle E M O = \tan \angle E G O = \frac { \sqrt { 1 4 } } { 5 }$ 因为 $E O \perp$ 平面 ABCD， $B C \subset$ 平面ABCD，所以 $E O \perp B C$ 因为 $E G \perp B C$ $E O , E G \subset$ 平面EOG ， $E O \cap E G = E$ 所以 $B C \perp$ 平面EOG，因为 $O G \subset$ 平面EOG，所以 $B C \bot O G$ 同理： $O M \perp B M$ ，又 $B M \perp B G$ ，故四边形OMBG是矩形，所以由 $B C = 1 0$ 得OM =5，所以 $E O = { \sqrt { 1 4 } }$ ，所以 $O G = 5$ 所以在直角三角形EOG中， $E G = { \sqrt { E O ^ { 2 } + O G ^ { 2 } } } = { \sqrt { \left( { \sqrt { 1 4 } } \right) ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } } = { \sqrt { 3 9 } }$ 在直角三角形EBG中，BG OM= =5， $E B = { \sqrt { E G ^ { 2 } + B G ^ { 2 } } } = { \sqrt { \left( { \sqrt { 3 9 } } \right) ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } } = 8$ 又因为 $E F = A B - 5 - 5 = 2 5 - 5 - 5 = 1 5$ 所有棱长之和为 $2 \times 2 5 + 2 \times 1 0 + 1 5 + 4 \times 8 = 1 1 7 { \mathrm { m } }$
故选：C