2016_新课标III卷
3．（5分）已知向量 $\overrightarrow { B A } = ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } )$ $\overrightarrow { B C } = ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , ~ \frac { 1 } { 2 } )$ ，则∠ABC=（A $30 ^ { \circ }$ B $4 5 ^ { \circ }$ C $60 ^ { \circ }$ D $\Omega 0 ^ { \circ }$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角
【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用
【分析】根据向量 $\overrightarrow { B _ { \mathrm { A } } }$ 的坐标便可求出 $\overrightarrow { B A } \cdot \overrightarrow { B C }$ ，及 $\vert \overrightarrow { B A } \vert , \ \vert \overrightarrow { B C }$ 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 $\cos \angle A B C$ 的值，根据 $\angle A B C$ 的范围便可得出 $\angle A$ BC的值
【解答】解： $\overrightarrow { B A } = \overrightarrow { B C } = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ $\vert \overrightarrow { B A } \vert = \vert \overrightarrow { B C } \vert = 1$
$$ \therefore \cos \angle A B C = \frac { \overrightarrow { B A } \cdot \overrightarrow { B C } } { \vert \overrightarrow { B A } \vert \vert \overrightarrow { B C } \vert } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ; $$
又 $0 ^ { \circ } \le \angle A B C \le 1 8 0 ^ { \circ }$
$$ \therefore \angle A B C = 3 0 ^ { \circ } $$
故选：A
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角