【分析】（1）分析雨滴动能和重力势能大小的变化，根据动能定理即可求出；
（2）雨滴匀速下落时，受竖直向下的重力 G、竖直向上的空气阻力 $\mathrm { ~ F ~ } _ { \mathbb { H } }$ 作用而处于平衡状态，由平衡条件可以求出雨滴在空气中下落的终极速度表达式，然后判断；若没有空气的阻力，则雨滴做自由落体运动；
（3）根据共点力平衡条件和题意中有关摩擦力的关系式列式求解。
【解答】解：（1）对雨滴，下落得过程中重力做正功，阻力做负功，由动能定理可得：$\mathrm { \ m g h - W { = } } \frac { 1 } { 2 } \mathrm { \ m u } ^ { 2 } \mathrm { - } \hat { \mathrm { 0 } }$ 所以： $\mathrm { { w } = \mathrm { { m g h } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { { m u } } } ^ { 2 } }$
> ②a．当雨滴的速度最大时： $\mathrm { m g = f }$
其中： $\mathrm { m } { = } \ p { \frac { 4 } { 3 } } \pi \ \mathrm { r } ^ { 3 } ,$ ，空气阻力 $\mathbf { f } { = } \mathbf { k r } ^ { 2 } \mathbf { v _ { \mathrm { m } } } ^ { 2 }$
联立可得： $\mathrm { v _ { m } } = \sqrt { \frac { 4 \pi \rho _ { \tt T E } } { 3 \mathrm { k } } }$
b．可知雨滴的半径越大则末速度越大，所以末速度较大的 $\textcircled{1}$ 对应半径为 $\mathbf { r } _ { 1 }$ 的雨滴。若没有空气的阻力，则雨滴做自由落体运动，则： $\mathbf { v } { = } _ { \mathbf { g } \mathbf { t } }$
其 v﹣t 图象如图：
（3）取圆盘 $\triangle { \sf t }$ 时间内扫过柱体内分子的个数为N，则： ${ \mathrm { N } } { = } { \mathrm { v } } { \cdot } \triangle { \mathrm { t } } { \bullet } \mathrm { S n }$ 由题意，由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，若取上下左右前后 6 个方向，则
各方向的分子各 $\sharp \frac { 1 } { 6 }$ ；
设分子的平均速率为 $\mathbf { v } _ { 0 } ,$ ，碰撞为弹性碰撞，则：
对上表面，向下运动的分子与圆盘碰撞，由于圆盘的质量远大于分子的质量，根据动量守恒与动能守恒可知，则分子碰撞后的速率： $\mathbf { v } _ { 1 } = 2 \mathbf { v } - \mathbf { v } _ { 0 }$
对分子则： $\mathbf { - } \mathbf { f } _ { 1 } \triangle \mathbf { t } = \frac { \mathbb { N } } { 6 } \bullet \mathtt { m _ { 0 } } ( \mathtt { v _ { 1 } } \mathbf { - v _ { 0 } } )$
沿前后左右方向运动的分子与盘的下表面碰撞，获得向下的速率，大小为 2v，所以：$\mathtt { f } _ { 2 } \Delta \mathtt { t } = \frac { 4 \mathbb { N } } { 6 } \cdot \mathtt { m } _ { 0 } \cdot 2 \mathrm { v }$
对下表面，向上运动的分子与圆盘碰撞，由于圆盘的质量远大于分子的质量，根据动量守恒与动能守恒可知，则分子碰撞后的速率： $\mathrm { v } _ { 2 } = \mathrm { v } _ { 0 } + 2 \mathrm { v }$
对分子则： $\mathtt { f } _ { 3 } \Delta \mathtt { t } = \frac { \mathtt { N } } { 6 } \cdot \mathtt { m } _ { 0 } ( \mathtt { v } _ { 2 } - \mathtt { v } _ { 0 } )$
圆盘受到的阻力： $\mathrm { f } { = } \mathrm { f } _ { 2 } { + } \mathrm { f } _ { 3 } - \mathrm { f } _ { 1 }$
联立可得： $\mathrm { f } { = } _ { 2 \mathsf { S } } { \bullet } _ { \Pi } \mathtt { m } _ { \bar { 0 } } \mathtt { v } ^ { 2 }$
则： $\mathbf { f } \propto \mathbf { v } ^ { 2 }$
答：（1）质量为 m 的雨滴由静止开始，下落高度 h 时速度为 u，这一过程中克服空气阻力所做的功W 为 $\mathtt { m g h } - \frac { 1 } { 2 } \mathtt { m u } ^ { 2 }$
> ②a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度 $\mathbf { v _ { m } }$ 与半径r的关系式为 $\mathbf { v _ { m } } =$ $\sqrt { \frac { 4 \pi \textsf { P r } } { 3 \mathrm { k } } }$
b．①，如图；
（3）证明见上。
【点评】该题属于物理知识在日常生活中的应用，其中雨滴的终极速度是常见的问题，要注意雨滴的质量与球的体积的联系。
