2022_新课标I卷
17. 记 $S _ { n }$ 为数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和，已知 $a _ { 1 } = 1 , \left\{ { \frac { S _ { n } } { a _ { n } } } \right\}$ 是公差为 $\frac 1 3$ 的等差数列
（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；
（2）证明： $\frac { 1 } { a _ { 1 } } + \frac { 1 } { a _ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { a _ { n } } < 2$
(1) $a _ { n } = { \frac { n { \bigl ( } n + 1 { \bigr ) } } { 2 } }$; (2) 见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $a _ { n } = { \frac { n { \bigl ( } n + 1 { \bigr ) } } { 2 } }$
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ${ \frac { S _ { n } } { a _ { n } } } = 1 + { \frac { 1 } { 3 } } { \big ( } n - 1 { \big ) } = { \frac { n + 2 } { 3 } }$ ，得到$S _ { n } = { \frac { \left( n + 2 \right) a _ { n } } { 3 } }$ ，利用和与项的关系得到当 $n \geq 2$ 时，$a _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } = { \frac { \left( n + 2 \right) a _ { n } } { 3 } } - { \frac { \left( n + 1 \right) a _ { n - 1 } } { 3 } }$ ,进而得： $\frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } = \frac { n + 1 } { n - 1 }$ ，利用累乘法求得$a _ { n } = { \frac { n { \bigl ( } n + 1 { \bigr ) } } { 2 } }$ ，检验对于 $n = 1$ 也成立，得到 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式 $a _ { n } = { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } }$
> ②由①的结论，利用裂项求和法得到 ${ \frac { 1 } { a _ { 1 } } } + { \frac { 1 } { a _ { 2 } } } + \cdots + { \frac { 1 } { a _ { n } } } = 2 { \Biggl ( } 1 - { \frac { 1 } { n + 1 } } { \Biggr ) }$ ，进而证得.
【小问1详解】
$$ \because a _ {1} = 1, \therefore S _ {1} = a _ {1} = 1, \therefore \frac {S _ {1}}{a _ {1}} = 1, $$
又 $\because \left\{ { \frac { S _ { n } } { a _ { n } } } \right\}$ 是公差为 $\frac 1 3$ 的等差数列，
$$ \therefore \frac {S _ {n}}{a _ {n}} = 1 + \frac {1}{3} (n - 1) = \frac {n + 2}{3}, \therefore S _ {n} = \frac {(n + 2) a _ {n}}{3}, $$
∴当 $n \geq 2$ 时， $S _ { n - 1 } = { \frac { \left( n + 1 \right) a _ { n - 1 } } { 3 } }$
$$ \therefore a _ {n} = S _ {n} - S _ {n - 1} = \frac {(n + 2) a _ {n}}{3} - \frac {(n + 1) a _ {n - 1}}{3}, $$
整理得： ${ \bigl ( } n - 1 { \bigr ) } a _ { n } = { \bigl ( } n + 1 { \bigr ) } a _ { n - 1 }$
即 $\frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } = \frac { n + 1 } { n - 1 }$
$$ \therefore a _ {n} = a _ {1} \times \frac {a _ {2}}{a _ {1}} \times \frac {a _ {3}}{a _ {2}} \times \dots \times \frac {a _ {n - 1}}{a _ {n - 2}} \times \frac {a _ {n}}{a _ {n - 1}} $$
$$ = 1 \times \frac {3}{2} \times \frac {4}{3} \times \dots \times \frac {n}{n - 2} \times \frac {n + 1}{n - 1} = \frac {n (n + 1)}{2}, $$
显然对于 $n = 1$ 也成立，
$\therefore \left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式 $a _ { n } = { \frac { n { \bigl ( } n + 1 { \bigr ) } } { 2 } }$ ；
【小问2详解】
$$ \frac {1}{a _ {n}} = \frac {2}{n (n + 1)} = 2 \left(\frac {1}{n} - \frac {1}{n + 1}\right), $$
$$ \therefore \frac {1}{a _ {1}} + \frac {1}{a _ {2}} + \dots + \frac {1}{a _ {n}} = 2 \left[ \left(1 - \frac {1}{2}\right) + \left(\frac {1}{2} - \frac {1}{3}\right) + \dots \left(\frac {1}{n} - \frac {1}{n + 1}\right) \right] = 2 \left(1 - \frac {1}{n + 1}\right) < 2 $$