已知函数 1( ) e ln lnxf x a x a-=…——2020 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1） 21e-
（2）[1, )+¥
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点
坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数 f x得导函数 ’f x的单调递增，当$a=1$时由 ’$1 0f=$得
$1 1minf x f= =,$符合题意；当a>1时，可证 1( ) (1) 0f fa¢ ¢<，从而 'f x存在零点 00x>，使得
01001( ) 0xf x aex-¢= - =，得到 m in( )f x，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式
可以证得1x³恒成立；当0 1a< <时，研究 f 1.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将 11 1lna x lnxf x e lna x e lnx+ -³ + + - ³ +转化为,

令 xg x e x= +,上述不等式等价于 1g lna x g lnx+ - ³,注意到 g x的单调性，进一步等价转化为
1lna lnx x³ - +，令 1h x lnx x= - +,利用导数求得 maxh x，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a
的对数不等式，解得a的取值范围.
【详解】（1） ( ) ln 1xf x e x= - +Q， 1( )xf x ex¢\ = -， (1) 1k f e¢\ = = -.
(1) 1f e= +Q，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 1 ( 1)( 1)y e e x- - = - -,即 1 2y e x= - +,
\切线与坐标轴交点坐标分别为 2(0,2),( ,0)1e--
,
∴所求三角形面积为1 2 22 | |=2 1 1e e-´ ´- -
;
（2）解法一： 1( ) ln lnxf x ae x a-= - +Q,
11( )xf x aex-¢\ = -，且 0a>
设 ( ) ( )$g x f x=$ ¢,则 121( ) 0,xg x aex-¢ = + >
∴g(x)在(0, )+¥上单调递增，即 ( )f x¢在(0, )+¥上单调递增，
当 $1a=$时， ( ) 01f¢=,∴ $1 1minf x f= =,$∴ 1f x³成立.
当 1a>时， 11a< ， 111ae-<∴，
111( ) (1) ( 1)( 1) 0af f a e aa-¢ ¢\ = - - <,
∴存在唯一 00x>，使得 01001( ) 0xf x aex-¢= - =，且当 0(0, )x xÎ时 ( ) 0f x¢<，当 0(,)xxÎ+¥时
( ) 0f x¢>， $0101xaex-\ =$， $0 0ln 1 lna x x\ + - = -$，
因此 $01min 0 0( ) ( ) ln lnxf x f x ae x a-= = - +0 00 01 1ln 1 ln 2ln 1 2 2ln 1a x a a x ax x= + + - +$ ³ - + × = +>1,
∴ 1,f x>∴ 1f x³恒成立；
当0 1a< <时， ① ln 1,f a a a= + < <∴ (1) 1, ( ) 1f f x< ³不是恒成立.
.

综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
解法二： 1 11x lna xf x ae lnx lna e lnx lna- + -= - + = - + ³等价于
11lna x lnxe lna x lnx x e lnx+ -+ + - ³ + = +,
令 xg x e x= +,上述不等式等价于 1g lna x g lnx+ - ³,
显然 g x为单调增函数，∴又等价于 1lna x lnx+ - ³，即 1lna lnx x³ - +，
令 1h x lnx x= - +,则 1 11xh xx x-= - =¢
在0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴ $1 0maxh x h= =,$
0 1lna a³ ³，即，∴a的取值范围是[1,+∞).
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思
想和等价转化思想，属较难试题.