（12分）四边形 A B C D 的内角 A 与 C 互补…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及co sC 的值代入表示出 $\mathrm{BD}^{2}$ ，在三角形 ABD 中，利用余弦定理列出关系式，将 AB ， DA 以及 $\cos \mathrm{A}$ 的值代入表示出 $\mathrm{BD}^{2}$ ，两者相等求出 $\cos \mathrm{C}$ 的值，确定出 C 的度数，进而求出 BD 的长；
（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BC $D$ 面积，之和即为四边形 $A B C D$ 面积。

【解答】解：（1）在 $\triangle \mathrm{BCD}$ 中， $\mathrm{BC}=3, \mathrm{CD}=2$ ，
由余弦定理得： $\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}-2 \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cos \mathrm{C}=13-12 \cos \mathrm{C}(1)$ ，
在 $\triangle \mathrm{ABD}$ 中， $\mathrm{AB}=1, \mathrm{DA}=2, \mathrm{~A}+\mathrm{C}=\pi$ ，
由余弦定理得：$B D^{2}=A B^{2}+A D^{2}-2 A B \bullet A D \cos A=5-4 \cos A=5+4 \cos C$②，
由①②得： $\cos \mathrm{C}=\frac{1}{2}$ ，
则 $\mathrm{C}=60^{\circ}, B D=\sqrt{7}$ ；
②$\because \cos \mathrm{C}=\frac{1}{2}, \quad \cos \mathrm{~A}=-\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{C}=\sin \mathrm{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
则 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \cdot \mathrm{DA} \sin \mathrm{A}+\frac{1}{2} \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CDsin} \mathrm{C}=\frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$ ．

【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．