2014 新课标 II 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{-2,0,2\}, B=\left\{x \mid x^{2}-x-2=0\right\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5分）$\frac{1+3 i}{1-i}=$

3．（5分）函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处导数存在，若 $p: f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0: q: x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的 极值点，则

4．（5分）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}$ ，$|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{6}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{b}}=$

5．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 2 ，若 $a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$（ ）

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示 1 cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm ，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） 

7．（5分）正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为 2 ，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ，$D$ 为 $B C$ 中点，则三棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{B}_{1} \mathrm{DC}_{1}$ 的体积为（ ）

8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x ， t 均为 2 ，则输出的 $\mathrm{S}=$（ 

9．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-1 \geqslant 0 \\ x-y-1 \leqslant 0 \\ x-3 y+3 \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+2 y$ 的最大值为（ ）

10．（5分）设 $F$ 为抛物线 $C$ ：$y^{2}=3 x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交于 $C$ 于 $A$ ，$B$ 两点，则 $|A B|=$（ ）

11．（5分）若函数 $f(x)=k x-\ln$ x 在区间 $(1,+\infty)$ 单调递增，则 k 的取值范围是（）

12．（5分）设点M（ $x_{0}, 1$ ），若在圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 上存在点 $N$ ，使得 $\angle O M N=45^{\circ}$ ，则 $\mathrm{x}_{0}$ 的取值范围是（）

13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{1}{3}$。

14．（5分）函数 $f(x)=\sin (x+\phi)-2 \sin \phi \cos x$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

15．（5分）偶函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，$f(3)=3$ ，则 $f(-1)=$ $\_\_\_\_$。

16．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{1-a_{n}}, a_{8}=2$ ，则 $a_{1}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{1}{2}$ ．

17．（12分）四边形 $A B C D$ 的内角 $A$ 与 $C$ 互补，$A B=1, B C=3, C D=D A=2$ ． （1）求 $C$ 和 $B D$ ； （2）求四边形 $A B C D$ 的面积．

18．（12分）如图，四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为矩形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{E}$ 为 $P D$ 的中点。 （I）证明：$P B \|$ 平面 $A E C$ ； （II）设 $\mathrm{AP}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ，三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABD}$ 的体积 $\mathrm{V}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 A 到平面 PBC 的距离． 

19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图： | 甲部门 | | 乙部门 | | :--- | :--- | :--- | | 4 <br> 97 <br> 97665332110 <br> 98877766555554443332100 <br> 6655200 <br> 632220 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | > 3 > 4 > 5 > 6 > 7 > 8 > 9 > 10 | 59 <br> 0448 <br> 122456677789 <br> 011234688 <br> 00113449 <br> 123345 <br> 011456 <br> 000 | | | | | | | | |> 3 > 4 > 5 > 6 > 7 > 8 > 9 > 10 （I）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （II）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率； （III）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。

20．（12分）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，$M$ 是 $C$ 上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ． （1）若直线 MN 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 C 的离心率； （2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 2 ，且 $|M N|=5\left|F_{1} N\right|$ ，求 $a$ ，$b$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+a x+2$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ 0,2 ）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 -2 ． （I）求 $a$ ； （II）证明：当 $k<1$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=k x-2$ 只有一个交点．

22．（10分）如图， P 是 $\odot \mathrm{O}$ 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交 于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}, \mathrm{D}$ 为 PC 的中点， AD 的延长线交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ，证明： （ I ） $\mathrm{BE}=\mathrm{EC}$ ； （ II ）$A D \cdot D E=2 P B^{2}$ ． 

23．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，半圆 C 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ （I）求C的参数方程； （II）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 $\mathrm{I}: \mathrm{y}=\sqrt{3} \mathrm{x}+2$ 垂直，根据（1 ）中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标．

24．设函数 $f(x)=\left|x+\frac{1}{a}\right|+|x-a| \quad(a>0)$ 。 （ I ）证明：$f(x) \geq 2$ ； （II）若 $f(3)<5$ ，求 $a$ 的取值范围．