2012_上海卷
12. 在平行四边形ABCD中， $\angle A = \frac { \pi } { 3 }$ ，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 ${ \frac { \mid { \overline { { B M } } } \mid } { \mid { \overline { { B C } } } \mid } } = { \frac { \mid { \overline { { C N } } } \mid } { \mid { \overline { { C D } } } \mid } }$ ，则 ${ \overrightarrow { A M } } \cdot { \overrightarrow { A N } }$ 的取值范围是
[2,5]
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】[2,5]
【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 $\scriptstyle A B = 2 , A D = 1$ ，所以 $A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , C ( \frac { 5 } { 2 } , 1 ) D ( \frac { 1 } { 2 } , 1 )$ . 设$N ( x , 1 ) ( \frac { 1 } { 2 } \leq x \leq \frac { 5 } { 2 } ) , \| \| B M = \frac { 1 } { 2 } { \mathit { \ C N } } \ , \ C N = \frac { 5 } { 2 } - x \ , \ B M = \frac { 5 } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } x \ , \ M ( 2 + \frac { 5 } { 8 } - \frac { 1 } { 4 } x , ( \frac { 5 } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } x ) \sin \frac { \pi } { 3 } ) .$ 根据题意，有 $\overset { } { A N } = ( x , 1 ) , \overset { } { A M } = ( \frac { 2 1 } { 8 } - \frac { x } { 4 } , \frac { 5 \sqrt { 3 } - 2 \sqrt { 3 } x } { 8 } )$ 所以 $\overset { } { A M } \bullet \overset { } { A N } = x ( \frac { 2 1 } { 8 } - \frac { x } { 4 } ) + \frac { 5 \sqrt { 3 } - 2 \sqrt { 3 } x } { 8 } ( \frac { 1 } { 2 } \leq x \leq \frac { 5 } { 2 } )$ ，所以 $2 \leq \vec { A M } \bullet \vec { A N } \leq 5$
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.