已知a，b，c均为正数，且 a ^ 2 + b ^ 2 +…——2022 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

**方法一**：根据 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 4 c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + \left( 2 c \right) ^ { 2 }$ ，利用柯西不等式即可得证；

> ②由①结合已知可得 $0 < a + 4 c \leq 3$ ，即可得到 $\frac { 1 } { a + 4 c } \geq \frac { 1 } { 3 }$ ，再根据权方和不等式即可得证.

【小问 1 详解】

**方法一**：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有 ${ \biggl [ } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + { \bigl ( } 2 c { \bigr ) } ^ { 2 } { \biggr ] } { \bigl ( } 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } { \bigr ) } \geq { \bigl ( } a + b + 2 c { \bigr ) } ^ { 2 }$

所以 $a + b + 2 c \leq 3$ ，当且仅当 $a = b = 2 c = 1$ 时，取等号，所以 $a + b + 2 c \leq 3$

**方法二**：基本不等式

由 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \geq 2 a b , b ^ { 2 } + 4 c ^ { 2 } \geq 4 b c , a ^ { 2 } + 4 c ^ { 2 } \geq 4 a c$

$$ \left( a + b + 2 c \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 4 c ^ { 2 } + 2 a b + 4 b c + 4 a c \leq 3 { \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 4 c ^ { 2 } \right) } = 9 , $$

当且仅当 $a = b = 2 c = 1$ 时，取等号，所以 $a + b + 2 c \leq 3$

【小问 2 详解】

证明：因为b = 2c ， a > 0 ，b > 0，c > 0 ，由①得 $a + b + 2 c = a + 4 c \leq 3$

即 $0 < a + 4 c \leq 3$ ，所以 $\frac { 1 } { a + 4 c } \geq \frac { 1 } { 3 }$

由权方和不等式知 ${ \frac { 1 } { a } } + { \frac { 1 } { c } } = { \frac { 1 ^ { 2 } } { a } } + { \frac { 2 ^ { 2 } } { 4 c } } \geq { \frac { \left( 1 + 2 \right) ^ { 2 } } { a + 4 c } } = { \frac { 9 } { a + 4 c } } \geq 3$

当且仅当 $\displaystyle \frac { 1 } { a } = \frac { 2 } { 4 c }$ ，即 a =1， $c = \frac { 1 } { 2 }$ 时取等号，

所以 $\displaystyle \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { c } \geq 3$

**方法一**：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

**方法二**：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法