已知eO的半径为1，直线PA与eO相切于点A，直线PB与e…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【解析】

【 分 析 】 由 题 意 作 出 示 意 图 ， 然 后 分 类 讨 论 ， 利 用 平 面 向 量 的 数 量 积 定 义 可 得 $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D }$ $= \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \sin ( 2 \alpha - \frac { \pi } { 4 } )$ ，或 $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \sin ( 2 \alpha + \frac { \pi } { 4 } )$ 然后结合三角函数的性质即可确定 $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D }$ 的最大值.【详解】如图所示， $| O A | = 1 , | O P | = { \sqrt { 2 } }$ ，则由题意可知: $\angle A P O = 4 5 ^ { \circ }$

由勾股定理可得 $P A = \sqrt { O P ^ { 2 } - O A ^ { 2 } } = 1$

当点A D, 位于直线PO异侧时，设 $\angle O P C = \alpha , 0 \leq \alpha \leq \frac { \pi } { 4 }$

则： $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D } = \mid \overrightarrow { P A } \mid \cdot \mid \overrightarrow { P D } \mid \cos \left( \alpha + \frac { \pi } { 4 } \right)$

$$ = 1 \times \sqrt {2} \cos \alpha \cos \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right) $$

$$ = \sqrt {2} \cos \alpha \left(\frac {\sqrt {2}}{2} \cos \alpha - \frac {\sqrt {2}}{2} \sin \alpha\right) $$

$$ = \cos^ {2} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha $$

$$ = \frac {1 + \cos 2 \alpha}{2} - \frac {1}{2} \sin 2 \alpha $$

$$ = \frac {1}{2} - \frac {\sqrt {2}}{2} \sin \left(2 \alpha - \frac {\pi}{4}\right) $$

$0 \leq \alpha \leq \frac { \pi } { 4 }$ ，则 $- { \frac { \pi } { 4 } } \leq 2 \alpha - { \frac { \pi } { 4 } } \leq { \frac { \pi } { 4 } }$

$\therefore$ 当 $2 \alpha - { \frac { \pi } { 4 } } = - { \frac { \pi } { 4 } }$ 时， $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D }$ 有最大值1.

当点A D, 位于直线PO同侧时，设 $\angle O P C = \alpha , 0 \leq \alpha \leq \frac { \pi } { 4 }$

则： $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D } = \mid \overrightarrow { P A } \mid \cdot \mid \overrightarrow { P D } \mid \cos \left( \alpha - \frac { \pi } { 4 } \right)$

$$ = 1 \times \sqrt {2} \cos \alpha \cos \left(\alpha - \frac {\pi}{4}\right) $$

$$ = \sqrt {2} \cos \alpha \left(\frac {\sqrt {2}}{2} \cos \alpha + \frac {\sqrt {2}}{2} \sin \alpha\right) $$

$$ = \cos^ {2} \alpha + \sin \alpha \cos \alpha $$

$$ = \frac {1 + \cos 2 \alpha}{2} + \frac {1}{2} \sin 2 \alpha $$

$$ = \frac {1}{2} + \frac {\sqrt {2}}{2} \sin \left(2 \alpha + \frac {\pi}{4}\right) $$

$0 \leq \alpha \leq \frac { \pi } { 4 }$ ，则 $\frac { \pi } { 4 } \leq 2 \alpha + \frac { \pi } { 4 } \leq \frac { \pi } { 2 }$

$\therefore$ 当 $2 \alpha + { \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { \pi } { 2 } }$ 时， $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D }$ 有最大值 $\frac { 1 + { \sqrt { 2 } } } { 2 }$

综上可得， $\overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P D }$ 的最大值为 $\frac { 1 + { \sqrt { 2 } } } { 2 }$

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.