【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角
【分析】（I）利用 $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 是正方形，可得 $\mathsf { A A } _ { 1 } \bot \mathsf { A C }$ ，再利用面面垂直的性质即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理可得 $A B \bot A C$ ．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；
（III）设点D的竖坐标为t， $( 0 { < } \mathfrak { t } { < } 4 )$ ），在平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$ 中作 $D E \bot B C$ 于E，可得$\mathsf { D } \left( \mathsf { t } , \mathsf { \Pi } _ { \mathsf { q } } ^ { 3 } ( \mathsf { q } - \mathsf { t } ) , \mathsf { \Pi } _ { \mathsf { t } } \right)$ ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出
【解答】（I）证明： $\because \mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 是正方形， $\therefore A A _ { 1 } \bot A C$
又∵平面ABC⊥平面 $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ ，平面ABC∩平面 ${ \mathsf { A A } } _ { 1 } { \mathsf { C } } _ { 1 } { \mathsf { C } } { = } { \mathsf { A C } }$
$\therefore \mathsf { A A } _ { 1 } \bot$ 平面 ABC
（II）解：由 AC=4，BC=5，AB=3$\therefore A C ^ { 2 } + A B ^ { 2 } = B C ^ { 2 } , \therefore A B \bot A C .$
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ${ \sf A } _ { 1 } ( 0 , 0 , 4 )$ ），B（0，3，0），B<sub>1</sub>（0，3，$4 ) , \ \mathsf { C } _ { 1 } \ ( 4 , \ 0 , \ 4 )$
$\therefore \overrightarrow { \mathrm { B C } } _ { 1 } = ( 4 , ~ - 3 , ~ 4 ) , ~ \overrightarrow { \mathrm { B A } _ { 1 } } = ( 0 , ~ - 3 , ~ 4 ) , ~ \overrightarrow { \mathrm { B B } _ { 1 } } = ( 0 , ~ 0 , ~ 4 ) .$
设平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B C } _ { 1 }$ 的法向量为 $\overrightarrow { \bf n _ { 1 } } = ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf y } _ { 1 } , { \bf z } _ { 1 } )$ ，平面 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { B C } _ { 1 }$ 的法向量为 $\overrightarrow { \bf n _ { 2 } } ^ { = } ~ ( { \bf x } _ { 2 }$ $\forall _ { 2 } , \quad \boldsymbol { z } _ { 2 } \in$ 则 $\left\{ \begin{array} { l } { \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 1 } } \bullet \overrightarrow { \mathrm { B } \subset _ { 1 } } = 4 \mathtt { x } _ { 1 } - 3 \mathtt { y } _ { 1 } + 4 \mathtt { z } _ { 1 } = 0 } \\ { \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 1 } } \bullet \overrightarrow { \mathrm { B } \mathtt { A } _ { 1 } } = - 3 \mathtt { y } _ { 1 } + 4 \mathtt { z } _ { 1 } = 0 } \end{array} \right.$ ，令 $\mathsf { y } _ { 1 } \mathsf { = } 4$ ，解得 $\times _ { 1 } = 0 , ~ z _ { 1 } = 3 , ~ \therefore \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 1 } } = ( 0 , ~ 4 , ~ 3 )$ $\left\{ \begin{array} { l } { \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 2 } } \bullet \overrightarrow { \mathrm { B } \subset _ { 1 } } = 4 \mathtt { x } _ { 2 } - 3 \mathtt { y } _ { 2 } + 4 \mathtt { z } _ { 2 } = 0 } \\ { \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 2 } } \bullet \overrightarrow { \mathrm { B } \mathrm { B } _ { 1 } } = 4 \mathtt { z } _ { 2 } = 0 } \end{array} \right.$ ，令 $x _ { 2 } = 3$ ，解得 $y _ { 2 } = 4$ ， $\mathsf { z } _ { 2 } { = } 0 , ~ \mathrel { \mathop : } - \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 2 } } \overline { { = } } ( 3 , ~ 4 , ~ 0 )$
$$
\cos < \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 1 } } , \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 2 } } > = \frac { \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 2 } } } { \vert \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 1 } } \vert \vert \overrightarrow { \mathrm { n } _ { 2 } } \vert } = \frac { 1 6 } { \sqrt { 2 5 } \cdot \sqrt { 2 5 } } = \frac { 1 6 } { 2 5 } .
$$
∴二面角 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { B C } _ { 1 } - \mathsf { B } _ { 1 }$ 的余弦值为 ${ \frac { 1 6 } { 2 5 } } .$ ．
（III）设点D的竖坐标为t， $( 0 { < } \mathfrak { t } { < } 4 )$ ），在平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$ 中作 $D E \bot B C$ 于E，可得D $( \ t , \ { \frac { 3 } { 4 } } ( 4 - t ) , \ t ) ,$
$$
\therefore \overrightarrow { A } \overrightarrow { \mathrm { D } } = ( \mathrm { t } , ~ \frac { 3 } { 4 } ( 4 - \mathrm { t } ) , ~ \mathrm { t } ) , \overrightarrow { \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B } } = ( 0 , ~ 3 , ~ - 4 ) ,
$$
$$
\because \overrightarrow { A D } \bot \overrightarrow { A _ { 1 } B } , \therefore \overrightarrow { A D } \cdot \overrightarrow { A _ { 1 } B } = 0 ,
$$
$\therefore 0 + \frac { 9 } { 4 } ( 4 - t ) - 4 t = 0 ,$ ，解得 $t { = } \frac { 3 6 } { 2 5 }$
$$
\therefore \frac { B D } { B C _ { 1 } } = \frac { D E } { C C _ { 1 } } = \frac { 9 } { 2 5 } \cdot
$$
【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力
