（5分）已知 A， B 是球 O 的球面上两点， A O…——2015 高考数学第 10 题答案解析

【考点】LG：球的体积和表面积．
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】当点 $C$ 位于垂直于面 $A O B$ 的直径端点时，三棱锥 $O-A B C$ 的体积最大，利用三棱锥 $O-A B C$ 体积的最大值为 36 ，求出半径，即可求出球 $O$ 的表面积．

【解答】解：如图所示，当点 $C$ 位于垂直于面 $A O B$ 的直径端点时，三棱锥 $O-A B$ C 的体积最大，设球 O 的半径为 R ，此时 $\mathrm{V}_{\mathrm{O}-\mathrm{ABC}}=\mathrm{V}_{\mathrm{C}-\mathrm{AOB}}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \mathrm{R}^{2} \times \mathrm{R}=\frac{1}{6} \mathrm{R}^{3}=3$

6，故 $R=6$ ，则球 $O$ 的表面积为 $4 \pi R^{2}=144 \pi$ ，
故选：C．

【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 $A O B$ 的直径端点时，三棱锥 $O-A B C$ 的体积最大是关键．