2021_上海卷
11．已知椭圆 $x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( 0 < b < 1 )$ 的左、右焦点为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ ，以O为顶点， $F _ { 2 }$ 为焦点作抛物线交椭圆于 P，且 $\angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = 4 5 ^ { \circ }$ ，则抛物线的准线方程是 $x = 1 - { \sqrt { 2 } }$
【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 $P F _ { 1 }$ 的方程并与抛物线联立，求出点P的坐标，由此可得 $P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 }$ ，进而可以求出 $P F _ { 1 } , \ P F _ { 2 }$ 的长度，再由椭圆的定义即可求解
$x = 1 - { \sqrt { 2 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】：设 $F _ { 1 } ( - c , 0 )$ $F _ { 2 } ( c , 0 )$ ，则抛物线 $y ^ { 2 } = 4 c x$
直线 $P F _ { 1 } : y = x + c$ ，联立方程组 $\left\{ \begin{array} { l l } { y ^ { 2 } = 4 c x } \\ { y = x + c } \end{array} \right.$ ，解得 $x = c \ , \quad y = 2 c$
所以点P的坐标为( ,2 )c c ，所以 $P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 }$ ，又 $P F _ { 2 } = F _ { 2 } F _ { 1 } = 2 c$ ,所以 $P F _ { 1 } = 2 \sqrt { 2 } c$
所以 $P F _ { 1 } = 2 \sqrt { 2 } c$ ，所以 $P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = ( 2 + 2 \sqrt { 2 } ) c = 2 a = 2$
则 $c = \sqrt { 2 } - 1$
所以抛物线的准线方程为： $x = - c = 1 - \sqrt { 2 }$
故答案为： $x = 1 - { \sqrt { 2 } }$
【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题