2024_省自主命题（海南）
12. 真空中有两个点电荷，电荷量均为 $^ { - q } \ ^ { \left( \ q \geq 0 \right) }$ ），固定于相距为2r的 $P _ { 1 }$ 、 $P _ { 2 }$ 两点，O 是 $P _ { 1 } P _ { 2 }$ 连线的中点，M点在 $P _ { 1 } P _ { 2 }$ 连线的中垂线上，距离O 点为r，N点在 $P _ { 1 } P _ { 2 }$ 连线上，距离O 点为 $x ( x < < r )$ ），已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
CD
【答案】CD
【解析】
【详解】AB．设 $P _ { 1 }$ 处的点电荷在 $P _ { 1 } P _ { 2 }$ 中垂线上某点A处产生的场强与竖直向下的夹角为 $\theta ,$ ，则根据场强的叠加原理可知，A点的合场强为
$$ E = k \frac {2 q}{r ^ {2}} \sin^ {2} \theta \cos \theta $$
根据均值不等式可知当 $\cos \theta = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } }$ 时E有最大值，且最大值为
$$ E = \frac {2 k q}{3 r ^ {2}} $$
再根据几何关系可知A点到O 点的距离为
$$ y = \frac {r}{3 ^ {\frac {1}{4}}} $$
故AB 错误；
C．在M点放入一电子，从静止释放，由于
$$ r > \frac {r}{3 ^ {\frac {1}{4}}} $$
可知电子向上运动的过程中电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C正确；
D．根据等量同种电荷的电场线分布可知，电子运动过程中，O 点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为
$$ F = k e q \cdot \frac {- 4 r x}{(r + x) ^ {2} (r - x) ^ {2}} $$
由于 $x < < r ,$ 整理后有
$$ F = - \frac {4 k e q}{r ^ {3}} \cdot x $$
在N点放入一电子，从静止释放，电子将以O 点为平衡位置做简谐运动，故D 正确。