2015_省自主命题（湖北）
19．（本小题满分 12 分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑
如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 底面，且PD ABCD $P D = C D$，过棱 的中点，作PC E $E F \perp P B$ 交 PB于点，连接F $D E , D F , B D , B E$
（Ⅰ）证明：．试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写PB DEF平面 DBEF出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面 $D E F .$ 与面 所成二面角的大小为ABCD $\frac { \pi } { 3 }$，求 $\frac { D C } { B C }$ 的值
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
【解析】（解法1）（Ⅰ）因为 $P D \perp$ 底面 $A B C D$，所以 $P D \perp B C$
由底面ABCD为长方形，有 $B C \bot C D$，而 $P D \cap C D = D$
所以 $B C \perp$ 平面PCD.而 $\mathcal Ḋ B Ḍ \subset$ 平面 $P C D$，所以 $B C \bot D E$
又因为 $P D = C D$，点E是PC的中点，所以 $D E \bot P C$
而 $P C \cap B C = C$，所以 $\mathcal { D E } \bot$ 平面 $P B C$ ·而 $P B \subset$ 平面 $P B C$ $P B \perp D E$
又 $P B \bot E F$ $\bar { D } \bar { E } \cap \bar { E } \bar { F } = \bar { E }$，所以 $P B \bot$ 平面 $D E F$
由 $\mathcal { D E } \bot$ 平面PBC，PB⊥平面 $\mathcal Ḋ D Ḍ E F Ḍ$，可知四面体 $B D E F$ 的四个面都是直角三角形即四面体 $B D E F$ 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.
(Ⅱ)如图1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面 $\mathcal { D E F }$ 与平面ABCD
的交线.由（Ⅰ）知， $P B \perp$ 平面 $D E F$，所以 $P B \bot D G$ .
又因为 $P D \perp$ 底面ABCD，所以 $P D \bot D G$ ·而 $P D \cap P B = P$，所以DG⊥平面PBD.
故 $\angle B D F$ 是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD=DC =1, $B C = \lambda$，有 $B D = \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } }$
在 $\mathbb { R } { + } \hat { \Delta } \bar { \mathcal { P D B } }$ 中，由 $D F \bot P B$，得 $\angle D P F = \angle F D B = \frac { \pi } { 3 }$
则 $\tan { \frac { \pi } { 3 } } = \tan \angle D P F = { \frac { B D } { P D } } = { \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } } } = { \sqrt { 3 } }$，解得 $\lambda = { \sqrt { 2 } }$
所以 $\frac { D C } { B C } = \frac { 1 } { \lambda } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 $\frac { \pi } { 3 }$ 时， $\frac { D C } { B C } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
(解法2)
(I）如图2，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
设 PD = DC =1, BC = λ,则 D(0,0,0), P(0,0,1), B(λ,1,0), C(0,1,0), $\overline { { P B } } = \left( \lambda , 1 , - 1 \right)$，点E是PC的中点， 所以 $E ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) , \overline { { { D \bar { E } } } } = ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } )$
于是 $\overline { { P B } } \cdot \overline { { D E } } = 0$，即 $P B \perp D E$
又已知 $E F \bot P B$，而 $\bar { D } \bar { E } \cap \bar { E } \bar { F } = \bar { E }$，所以PB⊥平面DEF.
因 $\overline { { P C } } = ( 0 , 1 , - 1 )$ $\overline { { D E } } \cdot \overline { { P C } } = 0$，则 $D E \bot P C$，所以 $\mathcal { D } \mathcal { E } \bot$ 平面PBC.
由 $\mathcal { D E } \bot$ 平面PBC，PB⊥平面 $\mathcal Ḋ D Ḍ E F Ḍ$，可知四面体 $B D E F$ 的四个面都是直角三角形，即四面体 $B D E F$ 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB， $\angle D E F , \angle E F B , \angle D F B$
第19题解答图1
第19题解答图2
（Ⅱ)由 $P D \perp$ 平面ABCD，所以 $\overline { { D P } } = ( 0 , 0 , 1 )$ 是平面ABCD的一个法向量；由（Ⅰ）知， $P B \perp$ 平面DEF，所以 $\overline { { B P } } = ( - \lambda , - 1 , )$ 1)是平面DEF的一个法向量.若面 $D E F$ 与面ABCD所成二面角的大小为 $\frac { \pi } { 3 }$
则 $\cos { \frac { \pi } { 3 } } = \left| { \frac { { \overline { { B P } } } \cdot { \overline { { D P } } } } { | { \overline { { B P } } } | \cdot | { \overline { { D P } } } | } } \right| = \left| { \frac { 1 } { \sqrt { { \lambda } ^ { 2 } + 2 } } } \right| = { \frac { 1 } { 2 } } .$
解得 $\lambda = { \sqrt { 2 } }$ .所以 $\frac { D C } { B C } = \frac { 1 } { \lambda } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 $\frac { \pi } { 3 }$ 时， $\frac { D C } { B C } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
【考点定位】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角.
【名师点睛】立体几何是高考的重点和热点内容，而求空间角是重中之重，利用空间向量求空间角的方法固定，思路简洁，但在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点，也是学生的易错易误点．解题时正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等