在平面直角坐标系 x O y 中，直线 x+2 y-3=0…——2014 高考数学第 9 题答案解析

【解答】
（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-3=0$ 被圆 $(\mathrm{x}-2)^{2}+(\mathrm{y}+1$ ）${ }^{2}=4$ 截得的弦长为 $-\frac{2 \sqrt{55}}{5}$ 。

考点 直线与圆的位置关系．
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专题 直线与圆．
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分析 求出已知圆的圆心为 $\mathrm{C}(2,-1)$ ，半径 $\mathrm{r}=2$ ．利用点到直线的距离公式，算出点 C 到
：直线直线 $l$ 的距离 d ，由垂径定理加以计算，可得直线 $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-3=0$ 被圆截得的弦长．
解答 解：圆 $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4$ 的圆心为 $C(2,-1)$ ，半径 $r=2$ ，

∵ 点 C 到直线直线 $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-3=0$ 的距离 $\mathrm{d}=\frac{|2-2-3|}{\sqrt{1+2^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ ，
∴ 根据垂径定理，得直线 $x+2 y-3=0$ 被圆 $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4$ 截得的弦长为 2
$\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{4-\frac{9}{5}}=\frac{2 \sqrt{55}}{5}$
故答案为：$\frac{2 \sqrt{55}}{5}$ ．
点评 本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式 ：、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题。