（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=(1+cot…——2010 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x+m \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 。

（1）当 $\mathrm{m}=0$ 时，求 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上的取值范围；
（2）当 $\tan a=2$ 时，$f(a)=\frac{3}{5}$ ，求 m 的值。

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题．

$$ \text { 解 : ( } \quad 1 \quad \text { ) 当 } \quad m=0 \quad \text { 时 , } $$

从而得：$f(x)$ 的值域为 $\left[0, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$
②$f(x)=\left(1+\frac{\cos x}{\sin x}\right) \sin ^{2} x+m \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$
化简得：$f(x)=\frac{1}{2}[\sin 2 x+(1+m) \cos 2 x]+\frac{1}{2}$
当 $\tan \alpha=2$ ，得： $\sin 2 a=\frac{2 \sin a \cos a}{\sin ^{2} a+\cos ^{2} a}=\frac{2 \tan a}{1+\tan ^{2} a}=\frac{4}{5}, \cos 2 a=\frac{3}{5}$ ，
代入上式，$m=-2$ ．