（5 分）如图， A, B 是半径为 2 的圆周上的定点，…——2019 高考数学第 8 题答案解析

【分析】由题意可得 $\angle A O B=2 \angle A P B=2 \beta$ ，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 $Q O \perp A B$ ，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．

【解答】解：由题意可得 $\angle A O B=2 \angle A P B=2 \beta$ ，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 $Q O \perp A B$ ，
即有 $Q O=2, Q$ 到线段 $A B$ 的距离为 $2+2 \cos \beta$ ，
$A B=2 \cdot 2 \sin \beta=4 \sin \beta$,
扇形 $A O B$ 的面积为 $\frac{1}{2} \cdot 2 \beta \cdot 4=4 \beta$ ，
$\triangle A B Q$ 的面积为 $\frac{1}{2}(2+2 \cos \beta) \cdot 4 \sin \beta=4 \sin \beta+4 \sin \beta \cos \beta=4 \sin \beta+2 \sin 2 \beta$ ，
$S_{\triangle A O Q}+S_{\triangle B O Q}=4 \sin \beta+2 \sin 2 \beta-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \sin 2 \beta=4 \sin \beta$,
即有阴影区域的面积的最大值为 $4 \beta+4 \sin \beta$ ．
故选：$B$ ．

【点评】本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题。