已知 5 x^ 2 y^ 2 +y^ 4 =1(x, y…——2020 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
已知 $5 x^{2} y^{2}+y^{4}=1(x, y \in R)$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

【答案】 $\frac{4}{5}$

【解析】

【分析】

根据题设条件可得 $x^{2}=\frac{1-y^{4}}{5 y^{2}}$ ，可得 $x^{2}+y^{2}=\frac{1-y^{4}}{5 y^{2}}+y^{2}=\frac{1}{5 y^{2}}+\frac{4 y^{2}}{5}$ ，利用基本不等式即可求解．

【详解】 $\because 5 x^{2} y^{2}+y^{4}=1$
$\therefore y \neq 0$ 且 $x^{2}=\frac{1-y^{4}}{5 y^{2}}$
$\therefore x^{2}+y^{2}=\frac{1-y^{4}}{5 y^{2}}+y^{2}=\frac{1}{5 y^{2}}+\frac{4 y^{2}}{5} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{5 y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{5}}=\frac{4}{5}$ ，当且仅当 $\frac{1}{5 y^{2}}=\frac{4 y^{2}}{5}$ ，即 $x^{2}=\frac{3}{10}, y^{2}=\frac{1}{2}$ 时取等号．
$\therefore x^{2}+y^{2}$ 的最小值为 $\frac{4}{5}$ ．
故答案为：$\frac{4}{5}$ ．
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握＂一正，二定，三相等＂的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 $\geq$ 或 $\leq$ 时等号能否同时成立）。