2014_新课标 I 卷 (2014·文)
20．（12分）已知点 $P(2,2)$ ，圆 $C: x^{2}+y^{2}-8 y=0$ ，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M, O$ 为坐标原点．
（1）求 M 的轨迹方程；
（2）当 $|O P|=|O M|$ 时，求$l$的方程及 $\triangle P O M$ 的面积．
【考点】\％H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程。
【专题】5B：直线与圆．
【分析】①由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出 M 坐标，由 $\overrightarrow{\mathrm{CM}} \overrightarrow{\mathrm{MP}}$ 数量积等于 0 列式得 $M$ 的轨迹方程；
②设 $M$ 的轨迹的圆心为 $N$ ，由 $|O P|=|O M|$ 得到 $O N \perp P M$ ．求出 $O N$ 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出 O 到I的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM 的长度，代入三角形面积公式得答案。
【解答】解：（1）由圆 $C$ ：$x^{2}+y^{2}-8 y=0$ ，得 $x^{2}+(y-4)^{2}=16$ ，
∴ 圆 C 的圆心坐标为 $(0,4)$ ，半径为 4 ．
设 $M(x, y)$ ，则 $\overrightarrow{C M}=(x, y-4), \overrightarrow{M P}=(2-x, 2-y)$ ．
由题意可得： $\overrightarrow{\mathrm{CM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MP}}=0$ ．
即 $x(2-x)+(y-4)(2-y)=0$ ．
整理得：$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=2$ ．
$\therefore \mathrm{M}$ 的轨迹方程是 $(\mathrm{x}-1)^{2}+(\mathrm{y}-3)^{2}=2$ ．
②由①知 M 的轨迹是以点 $\mathrm{N}(1,3)$ 为圆心，$\sqrt{2}$ 为半径的圆，
由于 $|O P|=|O M|$ ，
故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，
又 $P$ 在圆 $N$ 上，
从而 $O N \perp P M$ ．
$\because \mathrm{k}_{\mathrm{ON}}=3$ ，
∴ 直线 $l$的斜率为 $-\frac{1}{3}$ ．
∴ 直线 PM 的方程为 $\mathrm{y}-2=\frac{1}{3}(\mathrm{x}-2)$ ，即 $\mathrm{x}+3 \mathrm{y}-8=0$ ．
则 O 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{|-8|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ．
又 $N$ 到I的距离为 $\frac{|1 \times 1+3 \times 3-8|}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，
$\therefore|P M|=2 \sqrt{2-\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^{2}}=\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ．
$\therefore_{\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{POM}}}=\frac{1}{2} \times \frac{4 \sqrt{10}}{5} \times \frac{4 \sqrt{10}}{5}=\frac{16}{5}$ ．
【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．