20．（13分）（2010•北京）已知集合 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left\{\mathrm{X} \mid \mathrm{X}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \in\{0,1\}, \mathrm{i}=1,2\right.$ ， $\ldots, n\}(n \geq 2)$ 对于 $A=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}, ~\right), ~ B=\left(b_{1}, ~ b_{2}, \ldots b_{n},\right) \in S_{n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\left(\left|\mathrm{a}_{1}-\mathrm{b}_{1}\right|,\left|\mathrm{a}_{2}-\mathrm{b}_{2}\right|, \ldots\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right|\right)$ ；
$A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A, B)=\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}-b_{i}\right|$
（I）证明：$\forall \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，有 $\mathrm{A}-\mathrm{B} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，且 $\mathrm{d}(\mathrm{A}-\mathrm{C}, \mathrm{B}-\mathrm{C})=\mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{B})$ ；
（II）证明：$\forall \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}, \mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{B}), \mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{C}), \mathrm{d}(\mathrm{B}, \mathrm{C})$ 三个数中至少有一个是偶数
（III）设 $\mathrm{P} \subseteq \mathrm{S}_{\mathrm{n}}, \mathrm{P}$ 中有 $\mathrm{m}(\mathrm{m} \geq 2)$ 个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 $\overline{\mathrm{d}}$（ P ）．
证明： $\bar{d}(P) \leq \frac{m n}{2(m-1)}$ ．
（13分）（2010•北京）已知集合 S _ n = X…——2010 高考数学第 20 题答案解析
2010_北京卷 (2010·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】进行简单的合情推理。
【专题】压轴题；推理和证明．
【分析】（I）因为每个数位上都是 0 或者 1 ，取差的绝对值仍然是 0 或者 1 ，符合 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的要求。然后是减去 C 的数位，不管减去的是 0 还是 1 ，每一个 a 和每一个 b 都是同时减去的，
因此不影响他们原先的差。
（II）先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同 ，
这两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次
（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是 B 和 C 的不同数目，很容易得到这样的关系式：$h=k+1-2 i$ ，从而三者不可能同为奇数。
（III）首先理解 P 中会出现 $\mathrm{C}_{\mathrm{m}}{ }^{2}$ 个距离，所以平均距离就是距离总和再除以 $\mathrm{C}_{\mathrm{m}}{ }^{2}$ ，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第 n 位。然后思考，第一位一共 m 个数，只有 0 和 1 会产生一个单位距离，因此只要分开 0 和 1 的数目即可，等算出来 $t_{1}\left(m-t_{1}\right) \leqslant \frac{m^{2}}{4}$ ，一切就水到渠成了。
此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范。
【解答】解：（1）设 $\mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{B}=\left(\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{C}=\left(\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}, \ldots, \mathrm{c}\right.$ n）$\in S_{n}$
因 $a_{i}, b_{i} \in 0,1$ ，故 $\left|a_{i}-b_{i}\right| \in 0,1,(i=1,2, \ldots, n) a_{1} b_{1} \in 0,1$ ，
即 $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\left(\left|\mathrm{a}_{1}-\mathrm{b}_{1}\right|,\left|\mathrm{a}_{2}-\mathrm{b}_{2}\right|, \ldots,\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right|\right) \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$
又 $a_{i}, b_{i}, c_{i} \in(0,1), i=1,2, \ldots, n$
当 $c_{i}=0$ 时，有 $\| a_{i}-c_{i}\left|-\left|b_{i}-c_{i}\right|=\left|a_{i}-b_{i}\right|\right.$ ；
当 $c_{i}=1$ 时，有 $\| a_{i}-c_{i}\left|-\left|b_{i}-c_{i}\right|=\left|\left(1-a_{i}\right)-\left(1-b_{i}\right)=\left|a_{i}-b_{i}\right|\right.\right.$
故 $d(A-C, B-C)=\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}-b_{i}\right|=d(A, B)$
②设 $\mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{B}=\left(\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{C}=\left(\mathrm{c}_{1}, \mathrm{c}_{2}, \ldots, \mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right) \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$
记 $\mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{B})=\mathrm{k}, \mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{C})=\mathrm{l}, \mathrm{d}(\mathrm{B}, \mathrm{C})=\mathrm{h}$
记 $\mathrm{O}=(0,0, \ldots, 0) \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，由第一问可知：
$\mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{B})=\mathrm{d}(\mathrm{A}-\mathrm{A}, \mathrm{B}-\mathrm{A}), \mathrm{d}=(\mathrm{O}, \mathrm{B}-\mathrm{A})=\mathrm{k}$
$\mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{C})=\mathrm{d}(\mathrm{A}-\mathrm{A}, \mathrm{C}-\mathrm{A})=\mathrm{d}(\mathrm{O}, \mathrm{C}-\mathrm{A})=\mathrm{l}$
$d(B, C)=d(B-A, C-A)=h$
即 $\left|\mathrm{b}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right|$ 中 1 的个数为 $\mathrm{k},\left|\mathrm{c}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right|$ 中 1 的个数为 $\mathrm{l},(\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n})$
设 t 是使 $\left|\mathrm{b}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right|=\left|\mathrm{c}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right|=1$ 成立的 i 的个数，则有 $\mathrm{h}=\mathrm{k}+\mathrm{l}-2 \mathrm{t}$ ，
由此可知， $\mathrm{k}, \mathrm{l}, \mathrm{h}$ 不可能全为奇数，即 $\mathrm{d} ~(\mathrm{~A}, \mathrm{~B}) ~, ~ \mathrm{~d} ~(\mathrm{~A}, \mathrm{C}) ~, ~ \mathrm{~d} ~(\mathrm{~B}, ~ \mathrm{C}) ~ 三 个$ 数中至少有一个是偶数．
（3）显然 P 中会产生 $\mathrm{C}_{\mathrm{m}}{ }^{2}$ 个距离，也就是说 $\bar{d}=(P)=\frac{1}{C_{m}^{2}} \sum_{A, B \in P} d(A, B)$ ，其中 $A, B \in P$ 路 表示 P 中每两个元素距离的总和。
分别考察第 i 个位置，不妨设 P 中第 i 个位置一共出现了 $\mathrm{t}_{\mathrm{i}}$ 个 1 ，那么自然有 $\mathrm{m}-\mathrm{t}_{\mathrm{i}}$ 个 0 ，因此在这个位置上所产生的距离总和为 $\mathrm{t}_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{m}^{-} \mathrm{t}_{\mathrm{i}}\right) \leqslant \frac{\mathrm{m}^{2}}{4}, \quad(\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n})$ ，
那么 n 个位置的总和 $A, B \in P(A, B)=\sum_{i=1}^{n} t_{i}\left(m-t_{i}\right) \leqslant n-\frac{m^{2}}{4}=\frac{m^{2} n}{4}$
即 $\bar{d}=(P)=\frac{1}{C_{m}^{2}} \sum_{A, B \in P} d(A, B) \leqslant \frac{m^{2} n}{4 C_{m}^{2}}=\frac{m n}{2(m-1)}$
【点评】本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点。题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的，其实 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 中的元素就是一个 n 维的坐标，其中每个坐标值都是 0 或者 1 ，也可以这样理解，就是一个 n 位数字的数组，每个数字都只能是 0 和 1 ，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有 0 和 1 才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来 ，就能看到整体的性质了。