2010 高考数学第 20 题答案解析

20．（13分）（2010•北京）已知集合 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left\{\mathrm{X} \mid \mathrm{X}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \in\{0,1\}, \mathrm{i}=1,2\right.$ ， $\ldots, n\}(n \geq 2)$ 对于 $A=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}, ~\right), ~ B=\left(b_{1}, ~ b_{2}, \ldots b_{n},\right) \in S_{n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\left(\left|\mathrm{a}_{1}-\mathrm{b}_{1}\right|,\left|\mathrm{a}_{2}-\mathrm{b}_{2}\right|, \ldots\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right|\right)$ ；
$A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A, B)=\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}-b_{i}\right|$
（I）证明：$\forall \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，有 $\mathrm{A}-\mathrm{B} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，且 $\mathrm{d}(\mathrm{A}-\mathrm{C}, \mathrm{B}-\mathrm{C})=\mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{B})$ ；
（II）证明：$\forall \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}, \mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{B}), \mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{C}), \mathrm{d}(\mathrm{B}, \mathrm{C})$ 三个数中至少有一个是偶数
（III）设 $\mathrm{P} \subseteq \mathrm{S}_{\mathrm{n}}, \mathrm{P}$ 中有 $\mathrm{m}(\mathrm{m} \geq 2)$ 个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 $\overline{\mathrm{d}}$（ P ）．
证明： $\bar{d}(P) \leq \frac{m n}{2(m-1)}$ ．