2012_江苏卷 (2012)
16．（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A_{1} B_{1}=A_{1} C_{1}, D, E$ 分别是棱 $B C, C C_{1}$ 上的点（点 $D$ 不同于点 $C$ ），且 $A D \perp D E, F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．
求证：（1）平面 $A D E \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；
（2）直线 $A_{1} F / /$ 平面 $A D E$ ．
（第16题）
【解答】
（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ 分别是棱 $\mathrm{BC}, \mathrm{CC}_{1}$ 上的点（点 D 不同于点 C ），且 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{DE}, \mathrm{F}$ 为 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中点．求证：
（1）平面 $\mathrm{ADE} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ；
（2）直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \|$ 平面 ADE ．
考点 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
：
专题 空间位置关系与距离；立体几何．
：
分析（1）根据三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 是直三棱柱，得到 $\mathrm{CC}_{1} \perp$ 平面 ABC ，从而 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CC}_{1}$ ，结合已知条件 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{DE}, ~ \mathrm{DE} , \mathrm{CC}_{1}$ 是平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 内的相交直线，得到 $\mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{B}_{1}$ ，从而平面 $\mathrm{ADE} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ；
（2）先证出等腰三角形 $\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，再用类似（1）的方法，证出 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp$平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，结合 $\mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，得到 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \| \mathrm{AD}$ ，最后根据线面平行的判定定理
，得到直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \|$ 平面 ADE ．
解答 解：（1）∵ 三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 是直三棱柱，
：$\quad \therefore \mathrm{CC}_{1} \perp$ 平面 ABC ，
$\because \mathrm{AD} \subset$ 平面 ABC ，
$\therefore \mathrm{AD} \perp \mathrm{CC}_{1}$
又 $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{DE}, ~ \mathrm{DE} , \mathrm{CC}_{1}$ 是平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 内的相交直线
$\therefore \mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，
$\because \mathrm{AD} \subset$ 平面 ADE
∴ 平面 $\mathrm{ADE} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ；
（2）$\because \triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}, \mathrm{~F}$ 为 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中点
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，
$\because \mathrm{CC}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{FC} \subset$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{CC}_{1}$
又 $\because \mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1} , \mathrm{CC}_{1}$ 是平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 内的相交直线
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$
又 $\because \mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \| \mathrm{AD}$
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \not \subset$ 平面 $\mathrm{ADE}, \mathrm{AD} \subset$ 平面 ADE ，
∴ 直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \|$ 平面 ADE ．
点评 本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂 ：直的判定等知识点，属于中档题．