（16）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，一单位圆的…——2012 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（4分）（2012－山东）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 $(0,1)$ ，此时圆上一点 P 的位置在 $(0,0)$ ，圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于 $(2,1)$ 时， $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 的坐标为 $\_\_\_\_$ （ $2-\sin 2,1-\cos 2$ ） ．

考点 圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．
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专题 平面向量及应用；坐标系和参数方程．
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分析 设滚动后圆的圆心为 $\mathrm{O}^{\prime}$ ，切点为 A ，连接 $\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{P}$ ．过 $\mathrm{O}^{\prime}$ 作与 x 轴正方向平行的射线，交圆 ： $\mathrm{O}^{\prime}$ 于 $\mathrm{B}(3,1)$ ，设 $\angle \mathrm{BO}^{\prime} \mathrm{P}=\theta$ ，则根据圆的参数方程，得 P 的坐标为 $(2+\cos \theta, 1+\sin \theta$ ），再根据圆的圆心从 $(0,1)$ 滚动到 $(2,1)$ ，算出 $\theta=\frac{3 \pi}{2}-2$ ，结合三角函数的诱导公式，化简可得 P 的坐标为 $(2-\sin 2,1-\cos 2)$ ，即为向量 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 的坐标。

解答 解：设滚动后的圆的圆心为 $\mathrm{O}^{\prime}$ ，切点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，连接 $\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{P}$ ，
：过 $\mathrm{O}^{\prime}$ 作与 x 轴正方向平行的射线，交圆 $\mathrm{O}^{\prime}$ 于 $\mathrm{B}(3,1)$ ，设 $\angle \mathrm{BO}^{\prime} \mathrm{P}=\theta$
$\because \odot \mathrm{O}^{\prime}$ 的方程为 $(\mathrm{x}-2)^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}=1$ ，
∴ 根据圆的参数方程，得 P 的坐标为 $(2+\cos \theta, 1+\sin \theta)$ ，
∵ 单位圆的圆心的初始位置在 $(0,1)$ ，圆滚动到圆心位于 $(2,1)$
$\therefore \angle \mathrm{AO}^{\prime} \mathrm{P}=2$ ，可得 $\theta=\frac{3 \pi}{2}-2$
可得 $\cos \theta=\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-2\right)=-\sin 2, \sin \theta=\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-2\right)=-\cos 2$ ，
代入上面所得的式子，得到 P 的坐标为（ $2-\sin 2,1-\cos 2$ ）
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 的坐标为 $(2-\sin 2,1-\cos 2)$ ．
故答案为：（ $2-\sin 2,1-\cos 2$ ）

点评 本题根据半径为 1 的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面 ：向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题。