12．设 AB 是椭圆 $\Gamma$ 的长轴，点 C 在 $\Gamma$ 上，且 $\angle C B A=\frac{\pi}{4}$ 。若 $\mathrm{AB}=4, ~ \mathrm{BC}=\sqrt{2}$ ，则 $\Gamma$ 的兩个焦 B点之间的距离为 $-\frac{4}{3} \sqrt{6}-$ ．
参考答案
$\frac{4}{3} \sqrt{6}$
设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 C B A=…——2013 高考数学第 10 题答案解析
2013_上海卷 (2013·文)
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【答案】 $\frac{4}{3} \sqrt{6}$
【解析】如右图所示。
设 $D$ 在 $A B$ 上，且 $C D \perp A B, A B=4, B C=\sqrt{2}, \angle C B A=45^{\circ} \Rightarrow C D=1, D B=1, A D=3 \Rightarrow C(1,1) \Rightarrow 2 a=4$ ，把 $C(1,1)$ 代入椭圆标准方程得 $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1, a^{2}=b^{2}+c^{2} \Rightarrow b^{2}=\frac{4}{3}, c^{2}=\frac{8}{3} \Rightarrow 2 c=\frac{4}{3} \sqrt{6}$
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