2013 上海卷 · 文 数学

3．设 $m \in R, m^{2}+m-2+\left(m^{2}-1\right) i$ 是纯虚数，其中 $i$ 是虚数单位，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

4．已知 $\left|\begin{array}{ll}x & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{ll}x & y \\ 1 & 1\end{array}\right|=1$ ，则 $\mathrm{y}=$ $\_\_\_\_$ 1。

6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 $40 \%$ ．在一次考试中，男、女生平均分数分别是 $75 , 80$ ，则这次考试该年级学生平均分数为 $\_\_\_\_$ 78 ．

7．设常数 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$ ．若 $\left(\mathrm{x}^{2}+\frac{a}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中 $\mathrm{x}^{7}$ 项的系数为 -10 ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ －2 ．

8．方程 $\frac{9}{3^{x}-1}+1=3^{x}$ 的实数解为 $\_\_\_\_$ $\log _{3} 4$ $\_\_\_\_$ ．

9．若 $\cos x \cos y+\sin x \sin y=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 x-2 y)=-\frac{7}{9}$ 一

10．已知圆柱 $\Omega$ 的母线长为 1 ，底面半径为 $r, 0$ 是上底面圆心，$A , B$ 是下底面圆周上的两个不同的点， BC 是母线，如图．若直线 OA 与 BC 所成角的大小为 $\frac{\pi}{6}$ ，则 $\frac{l}{r}=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$。

第 10 题图

11．盒子中装有编号为 $1,2,3,4,5,6,7$ 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 $-\frac{5}{7}-$（结果用最简分数表示）。

12．设 AB 是椭圆 $\Gamma$ 的长轴，点 C 在 $\Gamma$ 上，且 $\angle C B A=\frac{\pi}{4}$ 。若 $\mathrm{AB}=4, ~ \mathrm{BC}=\sqrt{2}$ ，则 $\Gamma$ 的兩个焦 B点之间的距离为 $-\frac{4}{3} \sqrt{6}-$ ．

13．设常数 $\mathrm{a}>0$ ．若 $9 \mathrm{x}+\frac{a^{2}}{x} \geq a+1$ 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为 $-\left[\frac{1}{5}, \infty\right)-$ 。

14．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 1 。记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\overrightarrow{a_{1}} , \overrightarrow{a_{2}} , \overrightarrow{a_{3}}$ ；以 $C$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\overrightarrow{\mathrm{c}_{1}} , \overrightarrow{\mathrm{c}_{2}} , \overrightarrow{\mathrm{c}_{3}}$ ．若 $\mathrm{i}, \mathrm{j}, \mathrm{k}, 1 \in\{1,2,3\}$ 且 $\mathrm{i} \neq \mathrm{j}, \mathrm{k} \neq 1$ ，则 $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}_{i}}+\overrightarrow{a_{j}}\right) \cdot\left(\overrightarrow{c_{k}}+\overrightarrow{c_{l}}\right)$ 的最小值是— -5 。

15．函数 $\mathrm{f}(x)=x^{2}-1(\mathrm{x} \geq 0)$ 的反函数为 $\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})$ ，则 $\mathrm{f}^{-1}(2)$ 的值是（A）

16．设常数 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$ ，集合 $\mathrm{A}=\{x \mid(x-1)(x-\mathrm{a}) \geq 0\}, ~ \mathrm{~B}=\{x \mid x \geq a-1\}$ ．若 $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{R}$ ，则 a 的取值范围为 （ B ）

19．（本题满分 12 分）
如图，正三棱锥 $\mathrm{O}-\mathrm{ABC}$ 的底面边长为 2 ，高为 1 ，求该三棱锥的体积及表面积。

第19题图

20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分．
甲厂以 x 千克／小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq \mathrm{x} \leq 10$ ），每小时可获得的利润是 $100\left(5 x+1-\frac{3}{x}\right)$ 元。
（1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 $100 \mathrm{a}\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}\right)$ 元；
（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．已知函数 $\mathrm{f}(x)=2 \sin (\omega x)$ ，其中常数 $\omega>0$ ．
（1）令 $\omega=1$ ，判断函数 $F(x)=f(x)+f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）令 $\omega=2$ ，将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}( x)$ 的图像．对任意 $a \in R$ ，求 $y=g(x)$ 在区间 $[a, a+10 \pi]$ 上零点个数的所有可能值．

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8分．
已知函数 $\mathrm{f}(x)=2-|x|$ ，无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$
（1）若 $a_{1}=0$ ，求 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ；
（2）若 $a_{1}>0$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$ 的值．
（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \ldots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ；若不存在，说明理由．