在 A B C 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．…——2022 高考数学第 18 题答案解析

【答案】① $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

（2） 22

【解析】

【分析】（1）先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理的推论 $\cos C = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 a b } }$ 以及 $4 a = \sqrt { 5 } c$ 可解出a，即可由三角形面积公式$S = { \frac { 1 } { 2 } } a b \sin C$ 求出面积

【小问1详解】

由于 $\cos C = \frac { 3 } { 5 }$ $0 < C < \pi$ ，则 $\sin C = \frac { 4 } { 5 }$ ．因为 $4 a = \sqrt { 5 } c$

由正弦定理知 $4 \sin A = { \sqrt { 5 } } \sin C$ ，则 $\sin A = { \frac { \sqrt { 5 } } { 4 } } \sin C = { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$

【小问 2 详解】

因为 $4 a = \sqrt { 5 } c$ ，由余弦定理，得 $\cos C = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 a b } } = { \frac { a ^ { 2 } + 1 2 1 - { \frac { 1 6 } { 5 } } a ^ { 2 } } { 2 2 a } } = { \frac { 1 1 - { \frac { a ^ { 2 } } { 5 } } } { 2 a } } = { \frac { 3 } { 5 } }$

即 $a ^ { 2 } + 6 a - 5 5 = 0$ ，解得 $a = 5$ ，而 $\sin C = \frac { 4 } { 5 } , b = 1 1$

所以 $\triangle A B C$ 的面积 $S = { \frac { 1 } { 2 } } a b \sin C = { \frac { 1 } { 2 } } \times 5 \times 1 1 \times { \frac { 4 } { 5 } } = 2 2$