已知函数 f(x)=sin (2 x+ )(0< <π)…——2022 高考数学第 9 题答案解析

【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：$f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{4 \pi}{3}+\varphi\right)=0$ ，所以 $\frac{4 \pi}{3}+\varphi=k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，

即 $\varphi=-\frac{4 \pi}{3}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，

又 $0<\varphi<\pi$ ，所以 $k=2$ 时，$\varphi=\frac{2 \pi}{3}$ ，故 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$ ．
对 A ，当 $x \in\left(0, \frac{5 \pi}{12}\right)$ 时， $2 x+\frac{2 \pi}{3} \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ ，由正弦函数 $y=\sin u$ 图象知 $y=f(x)$ 在 $\left(0, \frac{5 \pi}{12}\right)$ 上是单调递减；

对 B ，当 $x \in\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}\right)$ 时， $2 x+\frac{2 \pi}{3} \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right)$ ，由正弦函数 $y=\sin u$ 图象知 $y=f(x)$ 只有 1 个极值点，由 $2 x+\frac{2 \pi}{3}=\frac{3 \pi}{2}$ ，解得 $x=\frac{5 \pi}{12}$ ，即 $x=\frac{5 \pi}{12}$ 为函数的唯一极值点；

对 C ，当 $x=\frac{7 \pi}{6}$ 时， $2 x+\frac{2 \pi}{3}=3 \pi, f\left(\frac{7 \pi}{6}\right)=0$ ，直线 $x=\frac{7 \pi}{6}$ 不是对称轴；
对 D ，由 $y^{\prime}=2 \cos \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)=-1$ 得： $\cos \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$ ，
解得 $2 x+\frac{2 \pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}+2 k \pi$ 或 $2 x+\frac{2 \pi}{3}=\frac{4 \pi}{3}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，

从而得：$x=k \pi$ 或 $x=\frac{\pi}{3}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，
所以函数 $y=f(x)$ 在点 $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 处的切线斜率为 $k=\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2 \cos \frac{2 \pi}{3}=-1$ ，
切线方程为：$y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-(x-0)$ 即 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}-x$ ．
故选：AD．