（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（I）$\frac{\sqrt{3}}{2}$；（II）$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

## 【解析】

试题分析：（I）连结 $A C, B D$，因为是菱形 $A B C D$ 的中心，$A C \cap B D=O$，以 $O$ 为坐标原点， $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O P}$的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出 $O, A, M$ 的坐标，并设出点 $P$ 的坐标 $(0,0, a)$，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出 $a$ 的值得到 $P O$ 的长；
（II）设平面 $A P M$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$，平面 PMC 的法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$，首先利用向量的数量积列方程求出向量 $\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}$ 的坐标，再利用向量的夹角公式求出 $\cos <\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}>$，进而求出二面角 $A-P M-C$ 的正弦值．

试题解析：
解：

（I）如答（19）图，连结 $A C, B D$，因 $A B C D$ 为菱形，则 $A C \cap B D=O$，且 $A C \perp B D$，以 $O$ 为坐标原点， $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O P}$ 的方向分别为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $o-x y z$，因 $\angle B A D=\frac{\pi}{3}$，故 $O A=A B \cdot \cos \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}, O B=A B \cdot \sin \frac{\pi}{6}=1$，
所以 $O(0,0,0), A(\sqrt{3}, 0,0), B(0,1,0), C(-\sqrt{3}, 0,0), \overrightarrow{O B}=(0,1,0), \overrightarrow{B C}=(-\sqrt{3},-1,0)$．
由 $B M=\frac{1}{2}, B C=2$ 知， $\overrightarrow{B M}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{1}{4}, 0\right)$
从而 $\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B M}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, 0\right)$，即 $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, 0\right)$．
设 $P(0,0, a), a>0$，则 $\overrightarrow{A P}=(-\sqrt{3}, 0, a), \overrightarrow{M P}=\left(\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{3}{4}, a\right)$．因为 $M P \perp A P$，
故 $\overrightarrow{M P} \cdot \overrightarrow{A P}=0$，即 $-\frac{3}{4}+a^{2}=0$，所以 $a=\frac{\sqrt{3}}{2}, a=-\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍去），即 $P O=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（II）由（I）知， $\overrightarrow{A P}=\left(-\sqrt{3}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{M P}=\left(\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{C P}=\left(\sqrt{3}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，
设平面 $A P M$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$，平面 $P M C$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$
由 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{A P}=0, \vec{n} \cdot \overrightarrow{M P}=0$，得 $\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3} x_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} z_{1}=0 \\ \frac{\sqrt{3}}{4} x_{1}-\frac{3}{4} y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} z_{1}=0\end{array}\right.$ 故可取 $\overrightarrow{n_{1}}=\left(1, \frac{5 \sqrt{3}}{3}, 2\right)$，
由 $\overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{M P}=0, \overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{C P}=0$，得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{4} x_{2}-\frac{3}{4} y_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} z_{2}=0 \\ \sqrt{3} x_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} z_{2}=0\end{array}\right.$ 故可取 $\overrightarrow{n_{2}}=(1,-\sqrt{3},-2)$
从而法向量 $\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}$ 的夹角的余弦值为 $\cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$
故所求二面角 $A-P M-C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$．
考点：1、空间直线与平面垂直的性质；2、空间直角坐标系；3、空间向量的数量积及其应用．