（本小题满分 10 分） 如图，在正四棱柱 A B C D…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
（本小题满分 10 分）
如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2, A B=1$ ，点 $N$ 是 $B C$ 的中点，点 $M$ 在 $C C_{1}$
上．设二面角 $A_{1}-D N-M$ 的大小为 $\theta$ ．
（1）当 $\theta=90^{\circ}$ 时，求 $A M$ 的长；
（2）当 $\cos \theta=\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求 $C M$ 的长．

【解答】
【必做题】本小题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分

10 分．
解：建立如图所示的空间直角坐标系 $D-x y z$ ．设 $C M=t(0 \leqslant t \leqslant 2)$ ，则各点的坐标为 $A(1,0,0)$ ， $A_{1}(1,0,2), N\left(\frac{1}{2}, 1,0\right), M(0,1, t)$ ．所以 $\overrightarrow{D N}=\left(\frac{1}{2}, 1,0\right), \overrightarrow{D M}=(0,1, t), \overrightarrow{D A_{1}}=(1,0,2)$ ．设平面 $D M N$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，则 $\boldsymbol{n}_{1} \cdot \overrightarrow{D N}=0, \boldsymbol{n}_{1} \cdot \overrightarrow{D M}=0$ 。即 $x_{1}+2 y_{1}=0, y_{1}+t z_{1}=0$ ，令 $z_{1}=1$ ，则 $y_{1}=-t, x_{1}=2 t$ ．所以 $n_{1}=(2 t,-t, 1)$ 是平面 $D M N$ 的一个法向量．
设平面 $A_{1} D N$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，则 $\boldsymbol{n}_{2} \cdot \overrightarrow{D A_{1}}=0, \boldsymbol{n}_{2} \cdot \overrightarrow{D N}=0$ ，即 $x_{2}+2 z_{2}=0, x_{2}+2 y_{2}=0$ ．
令 $z_{2}=1$ ，则 $x_{2}=-2, y_{2}=1$ ．所以 $\boldsymbol{n}_{2}=(-2,1,1)$ 是平面 $A_{1} D N$ 的一个法向量．从而 $n_{1} \cdot n_{2}=-5 t+1$ ．
（1）因为 $\theta=90^{\circ}$ ，所以 $n_{1} \cdot n_{2}=-5 t+1=0$ ，解得 $t=\frac{1}{5}$ ．从而 $M\left(0,1, \frac{1}{5}\right)$.

（第 22 遮）

所以 $A M=\sqrt{1^{2}+1^{2}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{51}}{5}$ ．
（2）因为 $\left|\boldsymbol{n}_{1}\right|=\sqrt{5 t^{2}+1},\left|\boldsymbol{n}_{2}\right|=\sqrt{6}$ ，所以 $\cos <\boldsymbol{n}_{1}, \boldsymbol{n}_{2}>=\frac{\boldsymbol{n}_{1} \cdot \boldsymbol{n}_{2}}{\left|\boldsymbol{n}_{1}\right|\left|\boldsymbol{n}_{2}\right|}=\frac{-5 t+1}{\sqrt{6} \sqrt{5 t^{2}+1}}$ ．
因为 $\left\langle\boldsymbol{n}_{1}, \boldsymbol{n}_{2}\right\rangle=\theta$ 或 $\pi-\theta$ ，所以 $\left|\frac{-5 t+1}{\sqrt{6} \sqrt{5 t^{2}+1}}\right|=\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，解得 $t=0$ 或 $t=\frac{1}{2}$ ．
根据图形和①的结论可知 $t=\frac{1}{2}$ ，从而 $C M$ 的长为 $\frac{1}{2}$ ．