## 23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个…——2014 高考数学第 23 题答案解析

【解析】：（1）依题意， $\frac { 1 } { 3 } a _ { 2 } \leq a _ { 3 } \leq 3 a _ { 2 } , \ \therefore \frac { 2 } { 3 } \leq x \leq 6$ ，又 $\frac { 1 } { 3 } a _ { 3 } \leq a _ { 4 } \leq 3 a _ { 3 }$ ，∴

$$ 3 \leq x \leq 2 7 $$

综上可得 $3 \leq x \leq 6$

> ②由已知得 $a _ { n } = q ^ { n - 1 }$ ，又 ${ \frac { 1 } { 3 } } a _ { 1 } \leq a _ { 2 } \leq 3 a _ { 1 } , \ \therefore { \frac { 1 } { 3 } } \leq q \leq 3$ 当 q =1时， $S _ { n } = n , \frac { 1 } { 3 } S _ { n } \leq S _ { n + 1 } \leq 3 S _ { n }$ ，即 $\frac { n } { 3 } \leq n + 1 \leq 3 n$ ，成立当 $1 < q \leq 3$ 时， $S _ { n } = \frac { q ^ { n } - 1 } { q - 1 } , \frac 1 3 S _ { n } \leq S _ { n + 1 } \leq 3 S _ { n }$ ，即 $\frac { 1 } { 3 } \frac { q ^ { n } - 1 } { q - 1 } \leq \frac { q ^ { n + 1 } - 1 } { q - 1 } \leq 3 \frac { q ^ { n } - 1 } { q - 1 }$ $\therefore { \frac { 1 } { 3 } } \leq { \frac { q ^ { n + 1 } - 1 } { q ^ { n } - 1 } } \leq 3$ ，此不等式即 $\left\{ \begin{array} { l l } { { 3 q ^ { n + 1 } - q ^ { n } - 2 \geq 0 } } \\ { { q ^ { n + 1 } - 3 q ^ { n } + 2 \leq 0 } } \end{array} , \right. \because q > 1$ $\cdot \cdot 3 q ^ { n + 1 } - q ^ { n } - 2 = q ^ { n } ( 3 q - 1 ) - 2 > 2 q ^ { n } - 2 > 0$ 对于不等式 $q ^ { n + 1 } - 3 q ^ { n } + 2 \leq 0$ ，令 n =1，得 $q ^ { 2 } - 3 q + 2 \leq 0$ ，解得 $1 \leq q \leq 2$ 又当 $1 < q \leq 2 \not \Game , q - 3 < 0$ ∴ ¹ 3 2 ( 3) 2 ( 3) 2 ( 1)( 2) 0ⁿ ⁿ ⁿ q q q q q q q q⁺ - + = - + £ - + = - - £ 成立，∴1 2< £q$\stackrel { \scriptscriptstyle * \prime } { \equiv } \frac { 1 } { 3 } \leq q < 1$ 时， $S _ { n } = { \frac { 1 - q ^ { n } } { 1 - q } } , { \frac { 1 } { 3 } } S _ { n } \leq S _ { n + 1 } \leq 3 S _ { n }$ ，即${ \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 1 - q ^ { n } } { 1 - q } } \leq { \frac { 1 - q ^ { n + 1 } } { 1 - q } } \leq 3 { \frac { 1 - q ^ { n } } { 1 - q } }$ 即 $\left\{ \begin{array} { l l } { 3 q ^ { n + 1 } - q ^ { n } - 2 \leq 0 } \\ { q ^ { n + 1 } - 3 q ^ { n } + 2 \geq 0 } \end{array} \right. , 3 q - 1 > 0 , q - 3 < 0$ $\because 3 q ^ { n + 1 } - q ^ { n } - 2 = q ^ { n } ( 3 q - 1 ) - 2 < 2 q ^ { n } - 2 < 0$ $q ^ { n + 1 } - 3 q ^ { n } + 2 = q ^ { n } ( q - 3 ) + 2 \geq q ( q - 3 ) + 2 = ( q - 1 ) ( q - 2 ) > 0$ $\therefore { \frac { 1 } { 3 } } \leq q < 1$ 时，不等式恒成立综上，q的取值范围为 $\frac { 1 } { 3 } \leq q \leq 2$ ③设公差为d ，显然，当 $k = 1 0 0 0 , d = 0$ 时，是一组符合题意的解，$\therefore k _ { \mathrm { m a x } } \geq 1 0 0 0$ ，则由已知得 $\frac { 1 + ( k - 2 ) d } { 3 } \leq 1 + ( k - 1 ) d \leq 3 [ 1 + ( k - 2 ) d ]$ $\therefore \{ ( 2 k - 1 ) d \geq - 2$ ，当 $k \geq 1 0 0 0$ 时，不等式即 $d \geq - \frac { 2 } { 2 k - 1 } , d \geq - \frac { 2 } { 2 k - 5 }$ $\therefore d \geq - { \frac { 2 } { 2 k - 1 } } , a _ { 1 } + a _ { 2 } + . . . + a _ { k } = k + { \frac { k ( k - 1 ) d } { 2 } } = 1 0 0 0$ $\therefore k \geq 1 0 0 0$ 时， $d = { \frac { 2 0 0 0 - 2 k } { k ( k - 1 ) } } \geq - { \frac { 2 } { 2 k - 1 } }$ 解得 $1 0 0 0 - { \sqrt { 9 9 9 0 0 0 } } \leq k \leq 1 0 0 0 + { \sqrt { 9 9 9 0 0 0 } } \ , \ \therefore k \leq 1 9 9 9$ ∴k的最大值为1999，此时公差 $d = { \frac { 2 0 0 0 - 2 k } { k ( k - 1 ) } } = - { \frac { 1 9 9 8 } { 1 9 9 9 \times 1 9 9 8 } } = - { \frac { 1 } { 1 9 9 9 } }$