（（本小题满分 12 分） 如图，三棱锥 A-B C D…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）见解析②$V_{A-B C}=\frac{1}{12}$．

## 【解析】

试题分析：
①由 $A B \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}, C D \subset$ 平面 BCD，
得到 $A B \perp C D$．
进一步即得 $C D \perp$ 平面 $A B D$。
（2）思路一：由 $A B-$ 平面 BCD，得 $A B \perp B D$．
确定 $S_{\triangle A B M}=\frac{1}{2} S_{\triangle A B D}=\frac{1}{4}$．
根据 $C D \perp$ 平面 ABD，
知三棱锥 C －ABM 的高 $h=C D=1$，
得到三棱锥 $A-M B C$ 的体积 $V_{A-M B C}=V_{C-A B M}$．
思路二：由 $A B \perp$ 平面 BCD 知，平面 ABD：平面 BCD，
根据平面 $\mathrm{ABD} \cap$ 平面 $\mathrm{BCD}=\mathrm{BD}$，
通过过点 M 作 $M N \perp B D$ 交 $B D$ 千点 N。
得到 $M N \perp$ 平面 BCD，且 $M N=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2}$，
利用 $V_{A-M B C}=V_{A-B C D}-V_{M-B C D}$ 计符二棱锥 $A-M B C$ 的体积．

试题解析：解法一：
①$\because A B \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}, C D \subset$ 平面 BCD，
$\therefore A B \perp C D$．
又 $\because C D \perp B D, A B \perp B D=B$，
$A B \subset$ 平面 $\mathrm{ABD}, B D \subset$ 平面 ABD，
$\therefore C D \perp$ 平面 $A B D$．
（2）由 $A B \perp$ 平面 BCD，得 $A B \perp B D$．
$\because A B=B D=1, \therefore S_{\triangle A B D}=\frac{1}{2}$.
$\because \mathrm{M}$ 是 AD 的中点，
$\therefore S_{\triangle A B M}=\frac{1}{2} S_{\triangle A B D}=\frac{1}{4}$．
由①知，$C D \perp$ 平面 ABD，
∴ 三棱锥 C－ABM 的高 $h=C D=1$，
因此三棱锥 $A-M B C$ 的体积
$V_{A-M B C}=V_{C-A B M}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B M} \bullet h=\frac{1}{12}$.

## 解法二：

（1）同解法一
②由 $A B \perp$ 平面 BCD 知，平面 $\mathrm{ABD} \perp$ 平面 BCD，
又平面 $\mathrm{ABD} \cap$ 平面 $\mathrm{BCD}=\mathrm{BD}$，
如图，过点 M 作 $M N \perp B D$ 交 BD 于点 N．

则 $M N \perp$ 平面 BCD，且 $M N^{\top}=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2}$，
又 $C D \perp B D, B D=C D=1$，
$\therefore S_{\triangle B C D}=\frac{1}{2}$．
∴ 三棱锥 $A-M B C$ 的体积
$V_{A-M B C}=V_{A-B C D}-V_{M-B C D}=\frac{1}{3} A B \bullet S_{\triangle B C D}-\frac{1}{3} M N \bullet S_{\triangle B C D}=\frac{1}{12}$.
考点：垂直关系，几何体的体积，＂间接法＂、＂等积法＂。