19. 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公比大于0的等比数列．其前n项和为 $S _ { n }$ ．若 $a _ { 1 } = 1 , S _ { 2 } = a _ { 3 } - 1$
（1）求数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前n项和 $S _ { n }$ ；
②设 $b _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { k , n = a _ { k } } \\ { b _ { n - 1 } + 2 k , a _ { k } < n < a _ { k + 1 } } \end{array} \right.$ $b _ { 1 } = 1$ ，其中k是大于1的正整数
（ⅰ）当 $n = a _ { k + 1 }$ 时，求证： $b _ { n - 1 } \geq a _ { k } \cdot b _ { n }$
（ⅱ）求 $\sum _ { i = 1 } ^ { S _ { n } } b _ { i }$
参考答案
① $S _ { n } = 2 ^ { n } - 1$ （2）①证明见详解；② $\mathrm { ~ ) } \sum _ { i = 1 } ^ { S _ { n } } b _ { i } = \frac { \left( 3 n - 1 \right) 4 ^ { n } + 1 } { 9 }$