2013_新课标II卷
11．（5分）设抛物线C： $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { p } \mathsf { x } \ \left( \mathsf { p } { > } 0 \right)$ 的焦点为F，点M在C上， $\vert M F \vert = 5$ ，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）A $y ^ { 2 } = 4 x$ 或 $y ^ { 2 } = 8 x$ B． $y ^ { 2 } = 2 x$ 或 $y ^ { 2 } = 8 x$ C $y ^ { 2 } = 4 x$ 或 $\mathsf { y } ^ { 2 } = 1 6 \mathsf { x }$ D． $y ^ { 2 } = 2 x$ 或 $\mathsf { y } ^ { 2 } = 1 6 \mathsf { x }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K7：抛物线的标准方程
【专题】11：计算题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据抛物线方程算出 $\left| 0 \mathsf { F } \right| = \frac { \mathsf { p } } { 2 }$ ，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在$\mathsf { R t \triangle A O F } \sharp$ 利用勾股定理算出 $\vert A F \vert = \sqrt { 4 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } }$ ．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到 $\angle O A F = \angle A M F$ ，Rt△AMF中利用 $\angle A M F$ 的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程
【解答】解：∵抛物线C方程为 $\scriptstyle { \cal { I } } \gamma ^ { 2 } = 2 { \mathsf { p } } \times \ \left( { \mathsf { p } } > 0 \right)$
∴焦点F坐标为 $( { \frac { \mathtt { p } } { 2 } } , \ 0 )$ ，可得 $\left| { \mathsf { O F } } \right| { = } { \frac { \mathfrak { p } } { 2 } }$
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得 $\mathsf { A F \bot A M }$
$\mathsf { R t \triangle A O F ^ { \prime } }$ 中， $\vert A F \vert = \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( \frac { p } { 2 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 4 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } }$
$$ \therefore \sin \angle O A F = \frac { \vert O F \vert } { \vert \mathrm { A F } \vert } = \frac { \frac { p } { 2 } } { \sqrt { 4 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } } , $$
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，$\therefore \angle O A F = \angle A M F$ ，可得 $R t \triangle A M F$ 中， $\sin \angle A M F = \frac { \vert A F \vert } { \vert A F \vert } = \frac { \frac { \mathrm { ~ p ~ } } { 2 } } { \sqrt { 4 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } } ,$ $\because \vert M F \vert = 5 , \vert A F \vert = \sqrt { 4 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } }$
$\therefore \frac { \sqrt { 4 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } } { 5 } = \frac { \frac { p } { 2 } } { \sqrt { 4 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } }$ ，整理得 $4 + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } = \frac { 5 p } { 2 }$ ，解之可得p=2或p=8因此，抛物线C的方程为 $\mathsf { y } ^ { 2 } = 4 \mathsf { x } ^ { \tt H } \bar { \mathsf { x } } \mathsf { y } ^ { 2 } = 1 6 \mathsf { x }$
故选：C
**方法二**：
∵抛物线C方程为 $\scriptstyle { | \mathsf { y } ^ { 2 } = 2 \mathsf { p } \times \mathsf { \varepsilon } ( \mathsf { p } > 0 ) }$ ，∴焦点 $\textsf { F } ( \frac { \mathtt { p } } { 2 } , \ 0 )$
设 ${ \cal M } \ ( { \bf x } , \ { \bf y } )$ ，由抛物线性质 $\vert M F \vert = x + \frac { p } { 2 } = 5$ ，可得 $x = 5 - \frac { p } { 2 }$
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为 $\frac { 5 - \frac { p } { 2 } + \frac { p } { 2 } } { 2 } = \frac { 5 } { 2 }$
由已知圆半径也为 $\frac { 5 } { 2 }$ ，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为
2，则M点纵坐标为4，
即 $\textsf { M } ( 5 - \frac { \mathtt { p } } { 2 } , \ 4 )$ ，代入抛物线方程得 $\mathsf { p } ^ { 2 } - 1 0 \mathsf { p } ^ { + } 1 6 { = } 0$ ，所以p=2或 $p = 8$ ．
所以抛物线C的方程为 $\scriptstyle { | \gamma ^ { 2 } = 4 \times } { \frac { \pi } { \cdot } } \chi ^ { 2 } = 1 6 x$
故选：C
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题