已知点S A B C, , , 均在半径为 2 的球面上，…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】2

【解析】

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】如图，将三棱锥 $S - A B C$ 转化为直三棱柱 $\mathit { S M N - \ A B C }$

设 ${ \triangle A B C }$ 的外接圆圆心为 $O _ { 1 }$ ，半径为r，

则 $2 r = { \cfrac { A B } { \sin \angle A C B } } = { \cfrac { 3 } { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } } = 2 { \sqrt { 3 } }$ ，可得 $r = { \sqrt { 3 } }$

设三棱锥 $S - A B C$ 的外接球球心为O，连接OA OO, ，则 $O A = 2 , O O _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } S A$

因为 $O A ^ { 2 } = O O _ { 1 } ^ { 2 } + O _ { 1 } A ^ { 2 }$ ，即 $4 = 3 + { \frac { 1 } { 4 } } S A ^ { 2 }$ ，解得 $S A = 2$

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；

（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且 ${ \mathit { P A } } = a , \ { \mathit { P B } } = b , \ { \mathit { P C } } = c , \ -$ 般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据 $4 R ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$ 求解；

（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解