2013_北京卷
10．（5 分）若等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $a _ { 2 } + a _ { 4 } = 2 0 , a _ { 3 } + a _ { 5 } = 4 0$ ，则公比 q= 2 ；前 n 项和 $S _ { \mathrm { n } } { = } \_ 2 ^ { \mathsf { n } + 1 } - 2$
2， $2 ^ { { \mathsf { n } } + 1 } - 2$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n 项和
【专题】54：等差数列与等比数列
【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出 $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt a } _ { 1 } { \tt q } ^ { + } { \tt a } _ { 1 } { \tt q } ^ { 3 } = 2 0 } \\ { { \tt a } _ { 1 } { \tt q } ^ { 2 } + { \tt a } _ { 1 } { \tt q } ^ { 4 } = 4 0 } \end{array} \right.$ ，解出即可得到 $\mathsf { a } _ { 1 }$ 及q，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出 $S _ { \mathfrak { n } } { = } \frac { \bar { \mathfrak { a } } _ { 1 } \left( \mathfrak { q } ^ { \mathfrak { n } } { - } 1 \right) } { \mathfrak { q } ^ { - 1 } }$
【解答】解：设等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的公比为 q，
$$ \because a _ { 2 } + a _ { 4 } = a _ { 2 } ( 1 + { \tt q } ^ { 2 } ) = 2 0 \textcircled { 1 } $$
$$ a _ { 3 } + a _ { 5 } = a _ { 3 } ( 1 + { \bf q } ^ { 2 } ) = 4 0 \textcircled { 2 } $$
∴①②两个式子相除，可得到 $\frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } = \frac { 4 0 } { 2 0 } = 2$
即等比数列的公比q=2，
将 q=2 带入①中可求出 $\mathtt { a } _ { 2 } = 4$
则 $\mathtt { a } _ { 1 } = \frac { \mathtt { a } _ { 2 } } { \mathtt { q } } = \frac { 4 } { 2 } = 2$
$\therefore$ 数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 时首项为2，公比为2的等比数列
$\therefore$ 数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前 n 项和为： $S _ { n } \mathrm { = } \frac { \bar { \bf { a } } _ { 1 } \left( \bar { \bf { q } } ^ { \bar { \bf { n } } } - 1 \right) } { \bar { \bf { q } } ^ { - 1 } } \mathrm { = } \frac { 2 \times \left( 2 ^ { n } \mathrm { - 1 } \right) } { 2 \mathrm { - 1 } } \mathrm { = } 2 ^ { n + 1 } \mathrm { ~ - ~ } 2$
故答案为：2， $2 ^ { { \mathsf { n } } + 1 } - 2$
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前 n 项和公式是解题的关键．